Super weak compactness and its applications to Banach space theory

Resumen

El principal objetivo de esta tesis fue el estudio de la super compacidad débil, la cual corresponde a versión la localizada de la superreflexividad. Esta noción está fuertemente relacionada con la existencia de funciones uniformemente convexas, por lo que la primera parte de este trabajo está dedicada al estudio de estas funciones. En particular, proponemos métodos discretos, basados en la inexistencia de árboles diádicos, para construir funciones uniformemente convexas cuyas propiedades serán mejoradas más adelante. Una consecuencia importante es una prueba alternativa del teorema de Enflo. Muchos trabajos contienen estimaciones de la super compacidad débil sin saberlo, por ejemplo, la super compacidad débil y su cuantificación arrojan luz sobre la estructura de los subespacios de los espacios de Banach generados por un espacio de Hilbert. Adicionalmente, se establecen nuevas caracterizaciones de los conjuntos SWC, en términos de puntos fijos o propiedades ergódicas, mejorando así los resultados ya existentes. La super compacidad débil también está fuertemente relacionada con las propiedades de Banach-Saks. Se introduce la noción de propiedad uniforme de Banach-Saks, la cual se caracteriza de diferentes maneras. En particular, mostramos que es equivalente a la propiedad p-Banach-Saks y determinamos con precisión el valor de este índice p. Los siguientes capítulos parecen alejarse del tema anterior, sin embargo, son consecuencias del estudio de la super compacidad débil. Estudiamos la estructura extremal de los ultraproductos de conjuntos acotados. Establecemos varios resultados de estabilidad relativos a la estructura extremal, por ejemplo, ampliamos algunos resultados de Talponen mostrando que un punto de un conjunto convexo acotado es fuertemente extremo si y sólo si su imagen canónica en el ultraproducto es (fuertemente) extrema. Además, demostramos que los puntos extremos y fuertemente extremos del ultraproducto coinciden. Se establecen resultados similares para los puntos expuestos. En los siguientes capítulos, nos centramos en los espacios Lipschitz libres. En primer lugar, estudiamos los espacios Lipschitz libres sobre ultraproductos de espacios métricos. En particular, demostramos que si un espacio métrico es finitamente representable en un espacio de Banach, entonces los espacios libres verifican una relación similar. A continuación, obtenemos interesantes resultados relativos a la existencia de cotas en espacios Lipschitz libres. En el siguiente trabajo, demostramos que varias propiedades clásicas de los espacios de Banach son equivalentes a la separabilidad para la clase de espacios Lipschitz libres. En particular, la cuestión de si los espacios Lipschitz libres no separables pueden tener una bola dual secuencialmente compacta débil∗ es indecidible. También proporcionamos un ejemplo de un espacio Lipschitz libre dual no separable que no tiene la propiedad Radon-Nikodym. El último capítulo trata de aproximaciones en espacios Lp, en el cual demostramos que los conjuntos de funciones simples que toman un número fijo de valores son proximales. Introducimos y estudiamos una clase de conjuntos, llamados conjuntos uniformemente aproximables, que es más amplia que la clase de conjuntos uniformemente integrables. Se establecen diferentes caracterizaciones de estos conjuntos y diferentes propiedades de estabilidad.