Matías Raja

Mi investigación se centra en la geometría y topología de los espacios de Banach, pero en algunas ocasiones los problemas allí considerados me han llevado a otras áreas como la topología general, la teoría descriptiva de conjuntos, espacios localmente convexos, optimización... Describiré mi producción matemática con algo más de detalle agrupada en varias líneas, aunque es inevitable la interacción o solapamiento entre ellas: - Teoría de renormamientos, que consiste en relacionar la existencia de normas equivalentes con características especiales (de convexidad, suavidad, topológicas) con otras de propiedades del espacio de Banach, frecuentemente de muy distinta naturaleza. En este ámbito inventé en mi tesis doctoral una técnica de construcción de normas a partir de descomposiciones numerables que me permitió caracterizar isomórficamente la existencia de normas equivalentes Kadets, así como simplificar y extender los resultados sobre renormamiento localmente uniformemente convexo. La técnica, con distintas modificaciones, ha sido empleada posteriormente por otros autores como A. Moltó, J. Orihuela, M. Valdivia, S. Troyanski, S. Lajara y R. Smith. Destacaría en esta línea nuestro trabajo sobre renormamiento uniformemente convexo que ha sido citado por G. Pisier en su libro "Martigales in Banach spaces". - Convexidad en dimensión infinita: propiedades de los conjuntos convexos, puntos extremos, puntos expuestos, teoría de Choquet, propiedad de Radon-Nikodym, funciones convexas, índices ordinales... Como ejemplo, uno de mis resultados más significativos combina el teorema de Krein-Milman con la propiedad de Baire: una función convexa acotada e inferiormente semicontinua definida sobre un compacto convexo de un espacio localmente convexo es continua en algún punto extremo. En cuanto a los índices ordinales, hemos usado variantes del índice de Szlenk para caracterizar, por ejemplo, las funciones que pueden ser aproximadas uniformemente por diferencias de funciones convexas Lipschitz. - Teoría descriptiva de conjuntos, en particular conjuntos de Borel en espacios no metrizables ni separables (entre los cuales el prototipo es un espacio de Banach con la topología débil) y la medibilidad de funciones en este mismo contexto. En mi tesis introduje una propuesta de clasificación de los conjuntos de Borel en contexto no metrizable, que ha sido aceptada por otros autores, y demostré que los subconjuntos de Borel de un compacto son Borel en cualquier inmersión en un superespacio. La relaciones entre medibilidad y estructura lineal han sido explotadas en algunos trabajos extendiendo un resultado de J. Saint-Raymond, por ejemplo. - Topología general, particularmente la que se relaciona con propiedades de las topologías débil o débil*: metrizabilidad, propiedades de cubrimiento, clases de compactos ligadas a los espacios de Banach (Eberlein, fragmentables, descriptivos...), espacios de funciones continuas y medidas de Radon. En este tema, la contribución que destacaría es la introducción de los compactos de Namioka-Phelps, usados por R. Haydon como ingrediente en un profundo resultado de renormamiento y el estudio de los compactos descriptivos. - Súper compacidad débil, que es una noción de compacidad para subconjuntos de un espacio de Banach intermedia entre la compacidad en norma y la débil, que localiza, en cierto modo, la idea de súper-reflexividad. La teoría de este tipo de conjuntos y sus aplicaciones ha sido desarrollada en una buena parte en nuestros trabajos, algunos de ellos en colaboración con G. Lancien de la Université Franche-Comté (Besançon) y Guillaume Grelier, mi más reciente estudiante de doctorado. Más información sobre mi actividad investigadora y académica la web corporativa (link arriba). Divulgación científica y curiosidades en mi web personal https://matiasraja.es