Integration, geometry and topology in Banach spaces

Resumen

La Tesis Doctoral presentada se compone de tres capítulos y dos apéndices. En el primer capítulo se estudia la integral de Riemann vectorial. El criterio de Lebesgue de integrabilidad Riemann no funciona para funciones con valores en espacios de Banach. Se dice que un espacio de Banach X tiene la propiedad (resp. propiedad débil) de Lebesgue, o LP (resp. WLP), si toda función integrable Riemann de [0,1] en X es continua en norma (resp. débilmente) en c.t.p. El único espacio de Banach clásico con la LP es l_1. Sin embargo, todo espacio de Banach con dual separable tiene la WLP. El objetivo principal de esta línea de investigación es estudiar en profundidad las propiedades LP y WLP y obtener nuevas caracterizaciones y espacios que ayuden a entender estas propiedades. Los principales resultados de esta línea son los siguientes: - El espacio de James no tiene la WLP. - La WLP es estable mediante l_1 sumas. - C(K)* tiene la WLP para todo compacto K en la clase MS. - Se responde una pregunta de M.A. Sofi sobre funciones débil*-continuas y no integrables Riemann. El segundo capítulo se corresponde con la segunda línea de investigación y está enfocado a estudiar las propiedades que relacionan ciertas familias de espacios de Banach con sus subconjuntos débil*-compactos. En particular, un compacto se dice que es Radon-Nikodym (resp. débil Radon-Nikodym) si es homeomorfo a un conjunto débil*-compacto de un espacio dual con la propiedad de Radon-Nikodym (resp. propiedad débil de Radon-Nikodym). Esta línea de investigación se centra en estudiar las propiedades topológicas de los compactos (débil) Radon-Nikodym y sus relaciones con otras clases. En este capítulo se exponen los siguientes resultados obtenidos: - La imagen continua de un compacto Radon-Nikodym no es necesariamente débil Radon-Nikodym. En particular, esto responde a una pregunta de E. Glasner y M. Megrelishvili. - Toda imagen continua cero-dimensional de un compacto débil Radon-Nikodym es débil Radon-Nikodym. -El compacto de Talagrand no es imagen continua de un compacto débil Radon-Nikodym. -La clase de compactos de Rosenthal y la clase de compactos débil Radon-Nikodym son incomparables. El tercer capítulo de la tesis estudia distintas propiedades secuenciales de espacios topológicos. En particular, se estudia la compacidad secuencial y la secuencialidad en la topología débil* del dual de un espacio de Banach. No existe ninguna caracterización de los espacios de Banach con bola dual débil*-sucesionalmente compacta y ninguna de las clases estudiadas en la actualidad parece ofrecer un candidato viable para tal caracterización. J. Hagler, E. Odell y R. Haydon dieron ejemplos de espacios de Banach sin copias de l_1 pero sin bola dual débil*-sucesionalmente compacta. Motivado por estos ejemplos, R. Haydon preguntó si todo compacto infinito débil Radon-Nikodym tiene una sucesión convergente no trivial. Entre los objetivos de esta línea se encuentra estudiar los espacios de Banach con bola dual débil*-sucesionalmente compacta o con bola dual débil*-secuencial y responder la pregunta de R. Haydon. Además, estudiamos distintas versiones convexas de estas propiedades. Los resultados principales obtenidos en esta línea y expuestos en el tercer capítulo son los siguientes: -Se obtienen condiciones suficientes para que un espacio de Banach tenga bola dual débil*-sucesionalmente compacta. -Se responde parcialmente la pregunta de R. Haydon. -Se responde una pregunta de A. Plichko sobre la existencia de espacios de Banach con bola dual débil*-secuencial y no Fréchet-Urysohn. En particular, se prueba que el espacio de Johnson-Lindenstrauss JL_2 y que todo espacio C(K) con K un compacto disperso de altura numerable tienen bola dual débil*-secuencial.