Dynamical aspects of k-order difference equations

Resumen

La tesis doctoral "Aspectos dinámicos de ecuaciones en diferencias finitas de orden k" se centra en el estudio de diferentes propiedades dinámicas de las ecuaciones en diferencias, especialmente del caso autónomo e incluso de sistemas de ecuaciones en diferencias de primer orden. El estudio de dichas propiedades es fundamental para conocer el comportamiento de las soluciones a largo plazo y poder describir así los modelos que se ajustan a dichas ecuaciones. Entre las propiedades analizadas cabe destacar las siguientes: convergencia, periodicidad, periodicidad global, conjuntos de acumulación, invarianza, estabilidad, bifurcaciones o permanencia. Objetivos Objetivo principal: Investigar aspectos dinámicos de las ecuaciones en diferencias de orden k. Objetivos específicos: O1.- Estudiar la convergencia de las soluciones de ciertas familias de ecuaciones en diferencias. O2.- Abordar cuestiones de la dinámica de ecuaciones racionales (periodicidad global, semiciclos y oscilación, invariantes...). O3.- Buscar y analizar nuevas familias de ciclos. O4.- Estudiar el carácter periódico de las soluciones de determinadas ecuaciones en diferencias de tipo max. O5.- Examinar las aplicaciones de las ecuaciones en diferencias de tipo max. O6.- Analizar las propiedades dinámicas de modelos poblacionales. Metodología Revisión bibliográfica. Asistencia a seminarios. Participación en congresos. Elaboración de trabajos propios. Realización de estancias predoctorales en universidades extranjeras. Resultados y conclusiones La disertación recoge una colección de resultados novedosos y originales que el estudiante ha desarrollado a lo largo de sus estudios doctorales. En concreto, destacamos los siguientes. Relativo a la convergencia, se generaliza el conocido Teorema de la Convergencia Monótona de Lebesgue intercambiando la condición de monotonía por una desigualdad convexa de tipo Copson (Teorema A). A continuación, se analiza el fenómeno de la periodicidad global a través de la búsqueda de nuevos ciclos de la familia x_(n+3)=x_i f(x_j,x_k) con i,j,k en {n,n+1,n+2} distintos dos a dos y f continua. Se demuestra que en el caso de f simétrica no existen 6-ciclos, Teorema B; mientras que en el caso de separación de variables, el único 6-ciclo que existe viene dado por x_(n+3)=x_n (x_(n+2)/x_(n+1))^2, Teorema C. Respecto a las ecuaciones en diferencias tipo max, se estudian y analizan por completo las soluciones de la ecuación de orden cuatro x_(n+4)=max(x_(n+3),x_(n+2),x_(n+1),0)-x_n. El Teorema D se centra en las soluciones periódicas y describe por completo el conjunto de periodos de dicha ecuación. Por otro lado, el análisis del comportamiento de las soluciones no periódicas deriva en la descripción de los puntos de acumulación de dichas soluciones que resultan ser intervalos compactos de la recta real, Teorema E. Seguidamente, se establece la existencia de una conjugación topológica entre una familia de ecuaciones en diferencias con máximo y las conocidas como ecuaciones generalizadas de Lozi, que son ecuaciones lineales a trozos, Teoremas F y G. Utilizamos dicha conjugación topológica para determinar la dinámica de dos ecuaciones generalizadas de Lozi y sus correspondientes familias de ecuaciones tipo max en los Teoremas H e I. En concreto, en uno de los casos se establece que existe un único punto de equilibrio, un continuo de soluciones 2-periódicas, y que el resto de soluciones converge a una de dichas soluciones 2-periódicas; mientras que, en el otro, se demuestra la existencia de un único punto de equilibrio que es un atractor global. Finalmente, estudiamos un modelo poblacional descrito por un sistema de ecuaciones en diferencias de primer orden definido por: H_(n+1)=aH_n e^r(1-H_n)f(bP_n ), P_(n+1)=cH_n (1-f(P_n)), donde a,b,c,r son números reales positivos, las sucesiones (H_n) y (P_n) representan a la cantidad de huéspedes y parásitos del modelo en cada estado, y f es una función de probabilidad arbitraria satisfaciendo un conjunto de condiciones que surgen de manera natural de la relación entre huéspedes y parásitos. Para este modelo establecemos la acotación uniforme de las soluciones, probamos la existencia de tres puntos de equilibrio diferentes y estudiamos su estabilidad local, por ejemplo, el Teorema J determina la estabilidad del punto de equilibrio de coexistencia. Además, probamos analíticamente la ocurrencia de distintos tipos de bifurcaciones, a saber, periodo-doble, transcrítica y Neimark-Sacker (la prueba de esta última puede consultarse en el Teorema K). Seguidamente se prueba la permanencia del sistema en los Teoremas L y M y, por último, se realizan simulaciones numéricas con funciones de probabilidad concreta para ilustrar los resultados teóricos obtenidos. En definitiva, la tesis doctoral recoge numerosos resultados novedosos en la materia que esperamos sirvan para avanzar en el estudio de las ecuaciones en diferencias autónomas. A su vez, cabe destacar el empleo de diferentes técnicas aprendidas a lo largo de los estudios de doctorado del estudiante.