On geometric and functional Grünbaum type inequalities

Resumen

El estudio de las desigualdades de tipo Grünbaum ha sido un campo de investigación muy fructífero durante los últimos años. Sus orígenes podemos encontrarlos en el trabajo de Ascoli, publicado en los años treinta, y posteriormente generalizado a dimensión arbitraria por Grünbaum en el artículo. La raíz de este resultado se encuentra en una pregunta natural relativa a los cuerpos convexos: ¿podemos asegurar la existencia de un punto ``a priori'' del interior de un cuerpo convexo, tal que al cortar este último por dicho punto resulten dos subcuerpos con una cantidad reseñable del volumen total? A la hora de intentar responder a esta pregunta uno queda conducido a la noción de centroide. Así, la desigualdad de Grünbaum afirma que si K es un cuerpo convexo, entonces el cociente vol(K-)/vol(K) está acotado por n/(n+1))n . Este trabajo aborda tres cuestiones relacionadas con la desigualdad de Grünbaum: • Por un lado, es natural preguntarse por una versión mejorada de la desigualdad de Grünbaum para una familia de cuerpos convexos K tales que (existe un hiperplano H para el cual) la función de los volúmenes seccionales es p-cóncava, con (1/(n-1)) < p. Por otro lado, atendiendo a lo anterior, podríamos esperar una posible extensión para conjuntos compactos, no necesariamente convexos, para los cuales dicha función es p-cóncava (para un cierto hiperplano H), con p < (1/(n-1)). • Sabiendo de la relación de las funciones log-cóncavas y p-cóncavas con la geometría de los cuerpo convexos, parece natural esperar una forma funcional de la desigualdad de Grünbaum. Además, teniendo en cuenta la relación entre la desigualdad de Grünnbaum y la desigualdad de Brunn-Minkowski, podríamos esperar que la desigualdad de Borell-Brascamp-Lieb desempeñase un rol importante en la prueba de un resultado de este tipo. • Dando una interpretación ligeramente distinta de la desigualdad de Grünbaum, dicho resultado asegura que, para cualquier cuerpo convexo, siempre existe un punto contenido en su interior (el centroide) de forma que cuando se corta este mediante un hiperplano a través de dicho punto, obtenemos dos subcuerpos con una porción relativamente ``grande'' del volumen total. A partir de esta observación, surge la siguiente pregunta: ¿existe una familia de puntos, potencialmente conteniendo al centroide, que compartan una propiedad similar? Además de esto, ¿hay algún otro punto, digamos especial o reconocido en la literatura, con una característica de esta índole? Para abordar estas preguntas, esta tesis comienza con un capítulo introductorio donde incluimos las definiciones y resultamos que necesitaremos posteriormente. Así, en el segundo capítulo veremos que fijado un hiperplano H, podemos encontrar una cota inferior para el cociente vol(K-)/vol(K) dependiendo este únicamente de la concavidad de la función de los volúmenes seccionales (paralela a H) de K. Además, en el cuarto capítulo, profundizamos más en la cuestión planteada; concretamente mostraremos que si la función de los volúmenes seccionales es ɸ-cóncava, entonces podemos acotar vol(K-)/vol(K) con una constante dada por la función ɸ. Con respecto a la segunda cuestión, en el tercer capítulo daremos una prueba sencilla de la versión funcional de la desigualdad de Grünbaum usando inducción en la dimensión y la desigualdad de Borell-Brascamp-Lieb. Finalmente, con relación a la última pregunta, en el capítulo cinco daremos dos ejemplos de puntos especiales para los cuales una desigualdad de tipo Grünbaum no es posible. Por el contrario, veremos que es posible extender dicho resultado al caso en el que el hiperplano H pasa por una familia uniparamétrica de centroides asociados a K. La metodología seguida en la realización de este trabajo ha sido la usual un proyecto matemático, es decir, está basada en el estudio de trabajos previos para desarrollar nuevas técnicas relacionadas con los problemas planteados.