Sobre la caracterización y robustez de los atractores de sistemas dinámicos multivaluados

Resumo

El objetivo de esta tesis es estudiar sistemas dinámicos multivaluados. En particular, pretendemos obtener resultados relacionados con la estructura de los atractores para describir el comportamiento de las soluciones de diferentes ecuaciones. Por tanto, nuestra investigación puede situarse en el área de Matemática Aplicada. Más concretamente, el Capítulo 1 versa sobre la robustez de los semiflujos multivaluados dinámicamente gradientes. Para aplicar este resultado describimos las propiedades dinámicas de una familia de problemas Chafee-Infante aproximando una inclusión diferencial, demostrando que las soluciones débiles de estos problemas generan un semiflujo multivaluado dinámicamente gradiente con respecto a unos conjuntos de Morse. El Capítulo 2 se centra en una ecuación más general llamada ecuación de reacción-difusión no local, donde el término de difusión depende del gradiente de la solución. En primer lugar, demostramos la existencia y unicidad de soluciones regulares y fuertes. En segundo lugar, obtenemos la existencia de atractores globales en ambas situaciones bajo supuestos bastante débiles al definir un semiflujo multivaluado. Terminamos esta sección caracterizando al atractor como la variedad inestable del conjunto de puntos estacionarios o como la estable cuando consideramos soluciones sólo en el conjunto de trayectorias completas acotadas. En el último capítulo estudiamos la estructura del atractor global para el semiflujo multivaluado generado por una ecuación de reacción-difusión no local donde no podemos garantizar la unicidad del problema de Cauchy. Comenzamos analizando la existencia y propiedades de los puntos estacionarios, mostrando que el problema sufre la misma cascada de bifurcaciones que en la ecuación de Chafee- Infante. Para concluir, estudiamos la estabilidad de los puntos fijos y establecemos que el semiflujo es dinámicamente gradiente. Además, probamos que el atractor está formado por los puntos estacionarios y sus conexiones heteroclínicas y analizamos algunas de las posibles conexiones. Además de estos tres capítulos, este trabajo contiene un apartado no numerado, Introduction (y su versión en español), a modo de preámbulo, donde se exponen tanto el trabajo como los objetivos que pretendemos alcanzar. Posteriormente, hemos incluido el Capítulo 0 preliminar para detallar el marco y los resultados previos necesarios para obtener los objetivos propuestos. Para terminar el trabajo, hemos creado dos secciones sin numerar, Appendix A y Conclusions and future work (y su versión en español de esta última). En el primero se dan detalles sobre la generalización de la propiedad lap number mientras que en el otro se aportan las principales contribuciones de nuestra investigación y algunos comentarios sobre futuras líneas de investigación.