Inequalities for the lattice point enumerator

Resumen

El propósito del proyecto de tesis es establecer análogos discretos de desigualdades conocidas en el campo de la Geometría Convexa. Por discretización entendemos la obtención de versiones de dichas desigualdades en las cuales se preserva la estructura y características generales de las mismas, pero se sustituyen algunos de sus elementos (por ejemplo, las medidas involucradas, o el espacio ambiente) por otros discretos que jueguen un papel similar. En nuestro caso particular trabajaremos fundamentalmente con retículos, es decir, subgrupos aditivos discretos del espacio euclídeo. Por otro lado, la medida habitual será el enumerador de puntos del retículo (LPE), aunque la cardinalidad también jugará un papel importante. La metodología empleada para realizar este proceso es en todos los casos similar. Primero comenzamos estudiando el caso continuo, prestando especial atención a las técnicas utilizadas en las demostraciones de las desigualdades. Seguidamente, estudiamos el estado del arte en el campo discreto, es decir, los resultados ya conocidos en el mismo en líneas de investigación que guarden una íntima relación con el problema en cuestión. Finalmente, tratamos de desarrollar técnicas discretas que nos permitan obtener las desigualdades análogas buscadas en el contexto discreto. Como es habitual en matemáticas, el proceso no siempre comienza con un potencial candidado concreto de teorema y termina con su demostración, sino que durante la propia indagación se va estableciendo lo que funciona y lo que no, hasta culminar con el resultado definitivo. Los resultados obtenidos en el proyecto se enmarcan fundamentalmente en cuatro problemas distinguidos de la Geometría Convexa, y como tal, quedan recogidos en cuatro capítulos respectivos de la tesis, correspondiendo habitualmente cada uno de ellos con uno o varios artículos de investigación donde los resultados han sido (o serán) publicados. El primer capítulo tiene su origen en las investigaciones previas del grupo de investigación, incluyendo tesis anteriores: la desigualdad de Brunn-Minkowski. En este proyecto, obtenemos una versión discreta mediante el LPE para combinaciones lineales con coeficientes positivos arbitrarios, generalizando así resultados anteriores. Después, demostramos una versión discreta de la misma para p-combinaciones con p positivo, tanto mayor como menor que 1 (punto que supone una transición crucial en las técnicas requeridas para su estudio). Amén de observaciones adicionales, demostramos que estas nuevas desigualdades implican sus análogas continuas. En el capítulo segundo nos centramos en la desigualdad isoperimétrica, quizá una de las más clásicas en toda la geometría, y obtenemos una versión para el LPE que implica la original. Asimismo, profundizamos en estudios previos para la medida de la cardinalidad y probamos una caracterización del caso de igualdad, obteniendo que los conjuntos extremales son precisamente los cubos reticulares. En el tercer capítulo ponemos nuestra atención en varias desigualdades de Rogers y Shephard, así como en otras relacionadas. Mediante diversas técnicas, tanto por comparación entre los funcionales volumen y LPE, como por adaptación discreta de las técnicas originales, obtenemos múltiples análogos discretos (a menudo no comparables entre sí) de la desigualdad original de Rogers-Shephard, así como de su desigualdad de tipo proyección-sección. Probamos también un análogo discreto de la desigualdad de Berwald, de la cual se desprenden versiones adicionales de las desigualdades anteriores. Estas nuevas desigualdades, al igual que antes, permiten recuperar las originales. Finalmente, en el cuarto capítulo estudiamos diversas conjeturas existentes en la línea de los mínimos sucesivos de Minkowski, funcionales de crucial importancia en el campo de la Geometría Discreta. En particular, obtenemos potentes resultados de comparación entre los funcionales volumen y LPE mediante dichos mínimos, demostrando tanto cotas superiores como inferiores que confirman (al menos, en orden de magnitud) las conjeturas planteadas, y que proporcionan además pruebas alternativas de diversas desigualdades clásicas adicionales en el campo.