Flag curvature in pseudo-Finsler manifolds

Résumé

El objetivo de esta tesis doctoral es estudiar la curvatura bandera de una variedad de pseudo-Finsler, análoga a la curvatura seccional a lo largo de un plano, pero que en este contexto depende además de la elección de una dirección en ese plano, de ahí el nombre que recibe. Para ello usaremos estructuras geométricas tales como las subvariedades y sumersiones. La metodología empleada consiste en adaptar a las variedades de pseudo-Finsler los métodos clásicos para el estudio de subvariedades y sumersiones en geometría pseudo-riemanniana, usando para tal fin el cálculo tensorial anisotrópico desarrollado recientemente, cuya novedad principal respecto al cálculo tensorial clásico es la aparición de derivadas verticales con respecto al fibrado tangente. Los resultados obtenidos se enmarcan dentro de dos estructuras fundamentales de la geometría de Finsler como son las subvariedades y las sumersiones y sus ecuaciones más importantes: las de Gauss y Codazzi y sus ecuaciones duales en una sumersión. En un primer capítulo se recuerdan las nociones fundamentales de la geometría de Finsler, destacando el ejemplo histórico de las métricas de Randers en las que se obtiene el tensor fundamental asociado a la métrica en términos de sus datos de Zermelo, a saber, la métrica riemanniana h y el campo vectorial W. Recordemos que al trasladar la esfera de esa métrica h a lo largo de ese campo W obtenemos la indicatriz de Randers. En el capítulo 2 se investiga la relación entre la curvatura bandera de una subvariedad no-degenerada con la curvatura bandera de su variedad ambiente, utilizando una generalización al caso finsleriano de las ecuaciones de Gauss y Codazzi. La conexión de Chern, la única conexión lineal anisotrópica libre de torsión que preserva la métrica, no induce en subvariedades la conexión de Chern intrínseca a cada subvariedad, sino otra conexión inducida, cuya diferencia con la conexión de Chern intrínseca define un tensor anisotrópico de la subvariedad que es cero en el caso riemanniano. Los múltiples términos adicionales que aparecen en las ecuaciones de Gauss y Codazzi dependen de ese tensor, así como de la derivada vertical de la conexión de Chern y de la derivada vertical del tensor fundamental asociado a la métrica, conocida como tensor de Cartan. Las propiedades de simplificación de ese tensor diferencia y del tensor de Cartan, permiten sin embargo obtener expresiones sencillas a la hora de relacionar la curvatura bandera de la variedad ambiente y de la subvariedad. Como aplicación, se calcula la curvatura bandera de una subvariedad de un espacio de Randers-Minkowski en términos de los datos de Zermelo. Finalmente, en el capítulo 3, realizamos un estudio detallado de las sumersiones de pseudo-Finsler y de sus ecuaciones fundamentales, introducidas en el caso riemanniano por Barrett O’Neill en 1966. Se trata de sumersiones cuyas fibras son subvariedades no-degeneradas y que preservan la longitud de los vectores horizontales en el sentido anisotrópico. De modo análogo a la conexión inducida y la conexión de Chern intrínseca de una subvariedad, el levantamiento horizontal de la conexión de Chern de la variedad de base no coincide con la parte horizontal de la conexión de Chern de la variedad ambiente, resultando en un nuevo tensor diferencia que da lugar a ecuaciones duales a las ecuaciones de Gauss y Codazzi cuando el vector admisible de referencia es horizontal. Como última aplicación se estudian las sumersiones cuyas fibras son totalmente geodésicas. En particular, bajo ciertas condiciones de regularidad, una sumersión cuyas fibras son totalmente geodésicas es la proyección de un fibrado asociado con un fibrado principal cuyo grupo de estructura es el grupo de Lie de las isometrías de las fibras.