Avances en el estudio de propiedades topológicas de flujos analíticos sobre superficies

Resumen

A grandes rasgos, esta Tesis Doctoral se propone investigar el efecto de la analiticidad en el campo de los sistemas dinámicos continuos reales en dimensión 2, es decir, qué fenómenos dinámicos aparecen cuando la función que define un sistema de este tipo es analítica. Más concretamente, este trabajo trata de avanzar en la investigación de la naturaleza topológica de los flujos asociados a campos de vectores analíticos reales sobre superficies con los siguientes cuatro objetivos. OBJETIVO 1. La clasificación topológica de los atractores globales inestables para flujos asociados a campos de vectores polinómicos en el plano. OBJETIVO 2. La caracterización topológica de los conjuntos omega-límite para flujos asociados a campos de vectores analíticos reales en abiertos de la esfera y el plano proyectivo. OBJETIVO 3. La caracterización topológica de los conjuntos periódicos límite para familias de flujos asociados a campos de vectores polinómicos en el plano. OBJETIVO 4. El estudio de los flujos asociados a campos de vectores analíticos en superficies con la propiedad de tener todas sus órbitas densas (los llamados flujos minimales). En cuanto a la metodología, la investigación se ha realizado en el Departamento de Matemáticas de la Universidad de Murcia, bajo la cobertura del grupo de investigación de Sistemas Dinámicos de la Región de Murcia. El autor de la Tesis Doctoral ha participado de forma activa en las actividades de índole científico que desarrolla este grupo y ha ido presentando a la comunidad científica su trabajo en sucesivos congresos (mediante exposiciones orales o la presentación de póster). Al mismo tiempo, el autor de la Tesis ha disfrutado de visitas investigadoras cortas en la Universidad de Toronto en Canadá, en la Universidad de Toulouse en Francia y en el Instituto de Ciencias Matemáticas de Madrid (ICMAT) y dos estancias largas (de cuatro meses cada una) en el propio ICMAT y en la Universidad de Plymouth en Reino Unido. Ésta última estancia permite optar a la Mención de Doctor Internacional. La investigación ha desembocado en la Tesis Doctoral que se presenta, ésta ataca los cuatro anteriores objetivos recopilando trabajos de investigación que el autor de la Tesis ha realizado en colaboración tanto con su director, Víctor Jiménez, como con André Belotto, Daniel Peralta-Salas y Gabriel Soler. En colaboración con Víctor Jiménez, se ha conseguido dar la clasificación topológica completa a la que se refiere el primero de los objetivos de arriba; de igual modo, en colaboración con André Belotto, se ha completado la caracterización topológica que atañe al segundo de los objetivos. En un trabajo conjunto con Daniel Peralta-Salas y Gabriel Soler, se atacó el cuarto de los objetivos, resultando una clasificación completa de todas las superficies orientables y no orientables de género finito que admiten flujos analíticos minimales y presentando un ejemplo de superficie no orientable de género infinito con igual propiedad. Por último, en cuanto al objetivo tercero, y también en colaboración con Víctor Jiménez, se ha conseguido completar la prueba de la caracterización topológica de los conjuntos omega-límite para flujos analíticos sobre la esfera, el plano y el plano proyectivo así como avanzar en la caracterización de estos conjuntos para flujos analíticos definidos en abiertos del plano.