3 essays on first-price auctions

Resumen

En esta tesis se analizan tres mecanismos de subasta distintos, todos ellos bajo el supuesto de valoraciones privadas e independientes. El primer mecanismo que analizamos es una subasta de múltiples unidades en la que los objetos son vendidos secuencialmente por medio de subastas de precio descendente. La característica que hace a esta subasta diferente de la "estándar", analizada por Weber (1983) es que después de la venta del primer objeto el precio no vuelve a subir, sino que los objetos que quedan son ofrecidos al resto de los compradores al mismo precio. Si los objetos no se venden a ese precio, la subasta continúa dejando que el precio siga descendiendo. Esta subasta se analiza en dos contextos: con un modelo de valoraciones continuas y con uno de valoraciones discretas. Se demuestra que si existe un equilibrio simétrico con pujas monótonas, el resultado de la subasta es ineficiente con probabilidad positiva. Aplicando el teorema de equivalencia de rentas se concluye que la subasta no maximiza los beneficios esperados del vendedor. Para poder comparar los precios medios y las varianzas analizamos un modelo de valoraciones discretas. Demostramos que los precios esperados son menores en nuestra subasta y que también lo es la varianza de los beneficios del vendedor. Damos un ejemplo de una familia de funciones de utilidad von Neumann- Morgenstern tal que la utilidad esperada del vendedor es mayor en una u otra de las subasta dependiendo de los valores del parámetro a. El segundo mecanismo que analizamos es una subasta asimétrica de primer precio donde la valoración de uno de los postores es conocida. Demostramos que no existe ningún equilibrio en estrategias puras y caracterizamos un equilibrio en estrategias mixtas en el que el postor cuya valoración es conocida randomiza su puja, mientras que los demás postores juegan una estrategia pura (y monótona). El resultado de la subasta es ineficiente con probabilidad positiva y el beneficio esperado del postor cuya valoración es conocida es menor que en una subasta estándar. Sin embargo, no es obvio que los demás postores mejoren su situación: el hecho de que uno de los postores juegue una estrategia mixta tiene el mismo efecto en sus rivales que un precio de reserva aleatorio. Esto puede obligarles a pujar más agresivamente de lo que pujarían en una subasta normal. El efecto en los beneficios del vendedor también es ambiguo. Tomando un ejemplo con la función de distribución uniforme y comparando los beneficios esperados del vendedor y de los compradores en las dos subastas, obtenemos que, en nuestro ejemplo (con 2 y con 3 postores) los beneficios esperados del vendedor son mas altos en la subasta asimétrica que en la normal. Para terminar, hacemos un repaso de la literatura en subastas secuenciales cuando los compradores desean más de una unidad del bien que se subasta, y analizamos una subasta secuencial de primer precio con y sin opción de compra. Para ello usamos el mismo modelo que Black y de Meza (1992) usan para analizar la subasta secuencial de segundo precio. Demostramos que cuando las preferencias son unidimensionales no existe ningún equilibrio monótono y simétrico, lo cual implica que el resultado de la subasta no puede ser eficiente. Cuando se introduce una opción de compra que permita comprar la segunda unidad al mismo precio al que se adquirió la primera, existe un equilibrio en estrategias puras para algunos valores de los parámetros del modelo. En este caso la opción siempre se ejerce, lo cual lleva a una asignación de los bienes diferente que la que resulta en la subasta secuencial de segundo precio. Cuando la valoración por la segunda unidad es aleatoria, las subastas de primer y segundo precio sin opción de compra son equivalentes. Por último, exponemos las dificultades de caracterizar un equilibrio cuando cuando se introduce la opción de compra en este modelo. In this thesis we analyze three different auction mechanisms, all of them under the private and independent valuations assumption. The first auction we analyze is a multi-unit auction where the objects are sold sequentially by descending-price auctions. The feature that makes this auction different from the standard one is that after one object has been sold, the price does not return to a high level, but the remaining objects are offered to the rest of the bidders at the same price. If the objects fail to be sold at that price, the auction is resumed letting the price descend again. We analyze this auction in two different contexts: a continuous valuation model, and a discrete valuation one. We show that if a symmetric, monotone bidding functions equilibrium exists, the outcome of the auction is inefficient with positive probability. Applying the revenue equivalence theorem we conclude that the auction cannot maximize the seller's expected revenue. In order to be able to compare the averages expected prices and variances, we analyze a discrete-valuation model. We show that the average expected prices are lower in our auction, and that so is the variance of the seller's expected revenue. We give an example of a family of von Neumann-Morgenstern utility functions under which the seller's expected utility may be higher in each of the auctions depending on the value of a parameter a. The second mechanism we analyze is an asymmetric first-price auction where the valuation of one of the bidders is common knowledge. We show that no pure strategy equilibrium exists and we characterize a mixed strategy equilibrium in which the bidder whose valuation is common knowledge randomizes his bid while the other bidders play a (monotone) pure strategy. The outcome of the auction is inefficient with positive probability, and the expected profit of the bidder whose valuation is common knowledge is lower than in a standard auction in which her valuation is private knowledge. However, it is not obvious that the other bidders are better off: the fact that one of the bidders plays a mixed strategy has the effect of on the other bidders as a random reserve price bidder. This may force all them to bid more aggressively than they would in the standard auction. The effect on the seller's expected revenue is also ambiguous. In an example with the uniform distribution, we compare the expected profits of seller and buyers in this auction with those in a standard symmetric private valuation model. In our example, with 2 and 3 bidders, the seller's expected revenue is higher in the asymmetric auction than in a standard auction. To finish, we survey the literature on sequential auctions with multi-unit demand, and we analyze a sequential first-price auction with and without a buyer's option. To do it we use the same model that Black and de Meza (1992) used to analyze the secuencial second-price caution. We show that when the preferences are unidimensional, no monotone symmetric pure strategy equilibrium exists, which implies that the outcome of the auction cannot be efficient. When an option to buy the second unit at the price paid for first one is introduced, there exists a pure strategy equilibrium for some values of the parameters of the model. In this case the option is always exercised, leading to a different allocation than that of the sequential second-price auction. When the valuations for the second unit is stochastic, the first-price and second-price auctions without a buyer's option are efficient and revenue equivalent. To finish, we give some insights into the difficulties of solving for an equilibrium when the buyer's option is introduced in this model.