Simulaciones numéricas en modelos de loops

Resumen

El objetivo de esta tesis consiste en el estudio de varias familias de modelos de loops en dos y tres dimensiones, donde se encuentran dos fases diferentes: una con loops finitos y otra donde hay al menos uno infinito. En concreto, se han estudiado tres clases de modelos de loops. El primero, un modelo de loops tridimensionales con orientación y color, definidos en redes con número de coordinación cuatro. El segundo, una modificación de estos modelos de loops que es un firme candidato a presentar una transición de fase de deconfinamiento. El tercero, un modelo de loops bidimensionales en la red cuadrada donde los loops pueden cruzarse. Hemos caracterizado el diagrama de fases de la primera familia de modelos en dos redes diferentes, las redes tridimensionales L y K. La transición de fase pasa a ser de primer orden a partir del valor n>nc, con cota inferior nc>3.0(2). Para n=1 y n=2 hemos mostrado que las clases de universalidad de los modelos de loops son las de la clase C de las transiciones de Anderson y la del modelo sigma sobre O(3), respectivamente. Esto es compatible con el hecho de que los modelos de loops se pueden expresar como una discretización de modelos sigma CP^{n-1}. Para n=3 los resultados son compatibles con transiciones de fase continuas en ambas redes, y hemos dado los exponentes críticos por primera vez: ?=0.536(13) y ?=0.23(2). También hemos caracterizado la distribución de longitudes de loops en la fase extendida y es la de Poisson-Dirichlet con parámetro ?=n. En la segunda clase de modelos, para n=2 hemos podido describir una transición entre la fase extendida y una fase localizada, fase U(1), que cambia mediante un crossover a la fase localizada Z_4. Hemos mostrado que este modelo se comporta de forma similar a los modelos paradigmáticos para el estudio de la criticalidad cuántica de deconfinamiento y parece estar en la misma clase de universalidad. Hemos hecho varias propuestas y podemos destacar que los resultados son compatibles con una transición continua no estándar o una de primer orden muy débil. Damos también estimaciones de los exponentes críticos a partir de varios observables. Hemos propuesto un candidato a mostrar un punto crítico de deconfinamiento, relacionado con sistemas magnéticos SU(2), y hemos estudiados tamaños mayores que los que se han publicado hasta ahora. Por último, hemos estudiado los modelos de loops bidimensionales con cruces. Hemos podido determinar las características de la llamada fase de Goldstone, en particular el comportamiento logarítmico de varios observables: correlaciones, distribución de longitudes, etc. Para conseguir estudiar esto, hemos desarrollado una técnica paralelizable de matriz de transferencia que ha permitido el acceso a tamaños enormes. También hemos caracterizado la transición de fase y hemos proporcionado los valores de los exponentes críticos. Estos exponentes son muy similares a los de la clase simpléctica de las transiciones de Anderson en 2D. El estudio de estos tres modelos se ha realizado mediante simulaciones numéricas y para ello hemos usado varios algoritmos basados en procesos de Monte Carlo. La implementación de los algoritmos se ha hecho en FORTRAN 90, con el uso de bibliotecas para la paralelización como OPENMP y MPICH. También se ha desarrollado una implementación en el lenguaje para procesadores gráficos programables: CUDA. Con este trabajo hemos mostrado una forma diferente de estudiar transiciones de fase cuánticas, mediante la simulación de modelos geométricos (clásicos). Ésto permite el acceso a tamños mucho mayores que otro tipo de técnicas. The work in this thesis is devoted to the study of loop models in two and three dimensions, where there are two different phases: one with finite loops, and the other with at least one infinite loop. Specifically, three families of loop models have been studied. First, a family of three-dimensional completely-packed loop models with n colors, where the loops are defined in four-coordinated, oriented lattices. Second, the same family of loop models when there is an extra interaction that preserves an special symmetry of the lattice. Third, a family of two-dimensional completely-packed loop models where the loops are allowed to cross. We have characterised the phase diagram of the first family of models in two different lattices, the three-dimensional L and K lattices. The character of the phase transitions becomes first order for n>nc and we have presented a lower bound: nc>3.0(2). For n=1 and n=2 we have shown that the universality classes of the loop models are those of the class C at the Anderson transitions and the O(3) sigma model, respectively. This is compatible with the fact that the loop models can be related to a lattice field theory of the CP^{n-1} sigma models. For n=3 we have found results compatibles with a continuous phase transition for both lattices, and we have given for the first time values of the critical exponents: ?=0.536(13) and ?=0.23(2). We have also characterised the loop length distribution of the extended phase and we have found that it is the Poisson-Dirichlet distribution with parameter ?=n. In the second model, for n=2 we have been able to describe a transition between the extended phase and a localised phase, the so-called U(1) phase, which crossover to a Z_4 localised phase. We have shown that this model behaves similarly to the paradigmatic models for the study of the quantum deconfinement criticality and seems to be in that universality class. We would like to emphasize that the results are compatible with a "non-standard" continuous transition or a very weak first order transition. We have proposed a candidate to show a deconfined critical point, related to SU(2) magnets, and we have studied system sizes bigger than what have been published up to date. And last, we have also studied the bidimensional loop models with crossings. We have been able to pin down the features of the so-called Goldstone phase. Particularly, we have found logarithmic behaviours in several observables: correlators, winding number, etc. In order to observe them we have developed a parallelizable transfer matrix technique which has allowed us to reach enormous system sizes. We have also studied the phase transition in these models and we have characterised the critical exponents for the first time. We have found that they are quite similar to those of the symplectic class of Anderson transition in two dimensions. We have performed the study of these loop models by numerical procedures, using several Monte Carlo algorithms. The implementation of these algorithms have been done in FORTRAN 90 with the parallelization libraries: OPENMP and MPICH. We have also developed an implementation of one of these algorithms in graphical processing units with CUDA. With this work we have given a different approach to study of several quantum phase transitions by simulating geometrical (classical) models, which allows to study system sizes bigger than other techniques.