Álgebras de malla finito dimensionales y sus propiedades homológicas= Finite dimensional mesh algebras and their homological properties.

Resumen

Resumen Esta Tesis Doctoral está enmarcada dentro del área del Álgebra, concretamente, de la Teoría de Representación de Álgebras. El objetivo principal de la misma es el estudio de propiedades homológicas de una clase de álgebras finito dimensionales conocidas como Álgebras de malla finito dimensionales. Dichas álgebras, introducidas por primera vez por K. Erdmann y A. Skowronski en 2008, surgieron como generalización de las álgebras preproyectivas y han suscitado un gran interés en los últimos años en el contexto general de las álgebras finito dimensionales. Entre otras, cabe destacar su aplicación en problemas de álgebras de conglomerado, grupos cuánticos, clasificación de ecuaciones diferenciales, singularidades de Klenian y geometría diferencial. Durante el primer periodo de la realización de la Tesis doctoral, localizamos y estudiamos en profundidad la bibliografía existente relacionada con nuestro objeto de estudio. Establecimos contacto continuo con expertos en la materia e incluso tuve la oportunidad de trabajar con Karin Erdmann durante mis tres meses de estancia en la Universidad de Oxford. El fruto de este trabajo se vio reflejado en mis dos primeros artículos publicados "The Hochschild cohomology ring of preprojective algebras of type Ln" y "The Hochschild cohomology ring of preprojective algebras of type Ln over a field of characteristic 2". La monografía, que consta de un total de 6 capítulos, está dividida en dos partes. Uno de los tópicos centrales es el anillo de cohomología de Hochschild de un álgebra. Este anillo tiene una notable influencia en diversas partes de las matemáticas como el Álgebra Conmutativa, la Teoría de Anillos, la Geometría Conmutativa y no Conmutativa, la Teoría de Representación, la Física Matemática, ¿ Además, su estructura multiplicativa está estrechamente relacionada con el estudio de las variedades de módulos y su álgebra de Yoneda. La definición del anillo de cohomología de Hochschild es bien sencilla, sin embargo, muy poco se sabe acerca de él. Es más, en la gran mayoría de los casos resulta extremadamente difícil calcularlo. Nuestra aportación principal en este aspecto consiste en la descripción explícita, mediante generadores y relaciones, de la estructura multiplicativa del anillo de cohomología de Hochschild de las álgebras de malla finito dimensionales de tipo Ln y Bn. Nuestras conclusiones resultan sorprendentes pues muestran grandes diferencias en el comportamiento de dicho anillo asociado no sólo a distintas álgebras, sino a una misma álgebra. Por otra parte, abordamos las propiedades homológicas de simetría, periodo y dimensión de Calabi-Yau de las álgebras de malla finito dimensionales. Consideramos primeramente la simetría y, como resultado, identificamos aquellas álgebras que son débilmente simétricas y las que son a su vez simétricas. A pesar de que una de las características más conocidas de estas álgebras es que son periódicas, sólo en muy pocos casos se ha conseguido calcular su periodo. En esta Tesis calculamos explícitamente el periodo de cada una de ellas. Finalmente tratamos la noción Calabi-Yau, definida por M.Kontsevich a finales de los años 90 y que ha sido intensamente estudiada por muchos matemáticos en los últimos años. Nuestro resultado principal es la caracterización de las álgebras de malla finito dimensionales que son establemente Calabi-Yau y Calaib-Yau Frobenius. Además, en tal caso, calculamos ambas dimensiones probando que, a pesar de que en la mayoría de los casos coinciden, no siempre son iguales, hecho que a día de hoy era desconocido. SUMMARY This thesis is placed in the general framework of Algebra, concretely, in Representation Theory of Algebras. The main aim of it is to study homological properties of a class of finite dimensional algebras known as finite dimensional mesh algebras. Such algebras, first introduced by K. Erdmann and A. Skowronski in 2008, arise as a generalization of preprojective algebras and have attracted great interest in the general context of finite dimensional algebras in recent years. Among others, it is worth mentioning their application to problems related with cluster algebras, quantum groups, classification of differential equations, Klenian singularities and differential geometry. During the first period of the realization of this thesis, we found and study in depth the existing literature concerning our subject. We established contact with experts and I even had the opportunity of working with K. Erdmann for three months during my stay at University of Oxford. This work have given rise to my two first published papers "The Hochschild cohomology ring of preprojective algebras of type Ln" y "The Hochschild cohomology ring of preprojective algebras of type Ln over a field of characteristic 2". The monograph, consisting of six chapters, is divided into two parts. A central topic is the Hochschild cohomology ring of an algebra. This ring has great influence in many diverse areas of mathematics such as commutative algebra, ring theory, commutative and noncommutative geometry, representation theory, mathematical physics, ¿ Also, its multiplicative structure is closely related to the study of module varieties and its Yoneda algebra. The definition of the ring is quite simple , however, only little information is known. Moreover, in most of the cases is extremely difficult the computation. Our main contribution consists of an explicit description, by means of generators and relators, of the multiplicative structure of the Hochschild cohomology ring of the finite dimensional mesh algebras of type Ln and Bn. Our conclusions are surprising since they show big differences in the behavior of this ring associated not only to two different algebras but also to the same one. On the other hand, we deal with the homological properties of symmetry, period and Calabi-Yau dimension of finite dimensional mesh algebras. We first consider the symmetry and, as a result, we identify those algebras being weakly symmetric and those which are in turn symmetric. Despite of the fact that it is well known that finite dimensional mesh algebras are periodic, the precise calculation of the period is only known in a few cases. In this thesis, we explicitly compute the period of any of this algebras. Finally, we deal with the Calabi-Yau notion, defined by M. Kontsevich in the late 90s and that has been intensively studied by many mathematicians in recent years. Our main result is the characterization of the stably Calabi-Yau and Calabi-Yau Frobenius finite dimensional mesh algebras. Moreover, in this case, we compute both dimensions showing that they need not to be equal, an unknown fact so far.