Herramientas para la no linealidad

Resum

Resumen de la tesis HERRAMIENTAS PARA LA NO LINEALIDAD (M. Victoria Caballero Pintado) El interés de los investigadores de la ciencia económica por la teoría del caos comenzó en la década de los 80 y una de la razones del mismo es el comportamiento aparentemente aleatorio de sistemas dinámicos no lineales simples y con pocos grados de libertad. Conocer esta especial dinámica a partir de series temporales obtenidas de estos sistemas dinámicos es lo que nos ha llevado a realizar esta Memoria, donde se estudian herramientas utilizadas en el análisis de sistemas dinámicos no lineales. La Memoria está estructurada en 5 capítulos, el primero es una introducción donde se incluyen generalidades sobre sistemas dinámicos discretos y una panorámica general de los distintos aspectos que se van a tratar en la misma. El segundo capítulo está dedicado a la teoría del embedding donde el teorema de Takens supone una de las justificaciones teóricas que permite construir una órbita de un sistema dinámico determinista desconocido a partir de una serie temporal de medidas obtenida de una órbita del mismo. Un teorema previo al de Takens, y básico en la demostración de éste, es el Teorema de Whitney. En este capítulo se dan dos nuevas demostraciones del Teorema de Whitney y se demuestra una extensión del teorema de Takens (resultado publicado en Acta Mathematica Hungarica, 88(4)). En el Capítulo 3 se profundiza en las implicaciones del signo del exponente de Lyapunov de un sistema dinámico unidimensional y se obtiene un resultado que complementa el dado por Koçak y Palmer (2010), así como nuevos ejemplos de sistemas dinámicos unidimensionales y bidimensionales con el comportamiento paradójico de los sistemas dinámicos mostrados en Demir y Koçak (2001) (resultados publicados en International Journal of Bifurcation and Chaos, 23). El Capítulo 4 está dedicado a los gráficos de recurrencia que son una herramienta que permite visualizar el concepto de correlación integral de un conjunto (entre otros). En las últimas décadas este tipo de gráficos, y en particular las medidas definidas sobre ellos, se han utilizado en el análisis de series temporales económicas, siendo uno de sus principales objetivos encontrar los puntos de cambio del comportamiento dinámico del modelo generador de datos. En este capítulo se utilizan las medidas cuantitativas definidas sobre estos gráficos con una serie no estacionaria obtenida del sistema dinámico de Liu para aproximarnos a sus puntos de bifurcación (resultado en Chaos, Solitons and Fractals, 36(3)). Un contraste no paramétrico de independencia se desarrolla en el Capítulo 5 y resulta de aplicar el principal teorema, que demostramos, sobre la distribución asintótica de una transformación lineal del estadístico que estima la correlación integral simbólica de una serie independiente e idénticamente distribuida. El concepto de correlación integral simbólica se define para cualquier conjunto compacto de un espacio vectorial m-dimensional y está basado en su simbolización, que consiste en asignar a cada elemento la permutación del conjunto {1,2,...,m} que representa el orden de sus componentes. Para este contraste, cuya hipótesis nula es que la serie sea independiente e idénticamente distribuida frente a cualquier dependencia, se ha estudiado el tamaño del test y su potencia. Los resultados obtenidos muestran un buen comportamiento del estadístico utilizado. Se finaliza el capítulo definiendo gráfico de recurrencia simbólico y simbólico coloreado y se calculando distintas medidas sobre los mismos. La última sección de cada capítulo se dedica a las conclusiones sobre los resultados obtenidos y las cuestiones que han quedado abiertas y que intentaremos cerrar en próximos trabajos.