Categorías de Cartan-Eileberg,pureza y resolventes Gorenstein proyectivas=Cartan-Eilenberg categories, purity and gornstein projetive resolvents

Resumen

En la presente memoria nos centramos en tres tópicos dentro del campo del Álgebra Homológica (Relativa): las Categorías de Cartan-Eilenberg, la Pureza y las resolventes Gorenstein proyectivas. El Capítulo IV describe las Categorías de Cartan-Eilenberg a izquierda. Es una aproximación alternativa al álgebra homológica-homotópica teniendo presente el papel de los complejos K-proyectivos en las categorías derivadas. En pocas palabras, una categoría C de Cartan-Eilenberg es una categoría que tiene equivalencias débiles y fuertes (S,W) y con suficientes objectos cofibrantes. En 2012, Pere Pascual da un ejemplo y un contraejemplo de una categoría de Cartan-Eilenberg a izquierda en la categoría C+(A) de complejos agotados por abajo dependiendo de si A tiene o no suficientes proyectivos. En nuestro resultado principal de este capítulo, damos un método general de construcción de estructuras de Cartan-Eilenberg a izquierda que engloba en particular el ejemplo anterior. Pero incluso en el caso en que C+(A) no es una categoría Cartan-Eilenberg a izquierda, como en el contraejemplo dado, nuestro método permite construir subcategorías de Cartan-Eilenberg a izquierda no triviales. Los capítulos V-VI y VII son sobre Álgebra Homologica Pura en las categorías cerradas monoidal simétricas y localmente presentables. Una de las razones de la importancia de la pureza en el contexto del Álgebra Homológica Relativa es debido a su trascendencia en la Teoría de la Aproximación. La mayoría de las clases en las que estamos interesados son cerradas bajo subobjetos y cocientes puros. Esencialmente, nos interesan dos tipos de pureza: la de geométricos y la de categóricos. Para el caso en que la categoría ambiente es de Grothendieck cerrada monoidal simétrica, observamos que la noción de pureza categórica implica la pureza geométrica. Esta observación tendrá consecuencias destacables que se pondrán de manifiesto en los capítulos siguientes. Dedicamos el capítulo V a probar la existencia de (pre)envolturas puro inyectivas dependiendo de la pureza considerada en la categoría, lo cual nos proporciona la herramienta necesaria para proceder con el Álgebra Homológica Pura. Nos centramos en la categorías de haces cuasi-coherentes Qcoh(X). En ellas surge, además, otra noción de pureza de manera natural. A esta clase de exactitud la llamaremos "exactitud pura en los tallos". Dedicamos el capítulo VI a estudiar algunas clases de haces cuasi-coherentes que se obtienen a partir de la pureza en tallos, así como sus propiedades homológicas. La idea que perseguimos es la de transferir algunos resultados conocidos en R-Mod a Qcoh(X). Nuestro objetivo final es la definición de la categoría derivada pura (geométrica), para especializarnos en el caso de un esquema. Probamos que la categoría derivada relativa a la pureza geométrica aparece como la categoría de homotopía de una categoría de modelos. Como caso particular, obtenemos la categoría derivada pura en los tallos de Qcoh(X): Dedicamos el capítulo VIII a la versión de Álgebra Homológica Relativa conocida como Álgebra Homológica Gorenstein. Nos centramos en los módulos Gorenstein proyectivos. El objetivo principal es estudiar tópicos relacionados con resoluciones a derecha por módulos Gorenstein proyectivos. En primer lugar, empezamos considerando el problema de la existencia de preenvolturas Gorenstein proyectivas por módulos finitamente generados sobre un anillo local n-Gorenstein.Luego, investigamos ciertos funtores derivados por la izquierda relativos de Hom(-, -).Denotamos por Text_i(-,-) el funtor derivado a izquierda de Hom(-,-) el cual se obtiene al tomar un complejo proyectivo totalmente acíclico que aparece en alguna resolución a derecha proyectiva de la primera componente. Este funtor recibe el nombre de funtor derivado de Tate. Otros funtores derivados a izquierda que centran nuestro interés son Ext_i(-,-) y Gext_i (-,-). Estos se obtienen usando una resolución a derecha proyectiva y una resolución a derecha Gorenstein proyectiva, respectivamente. Obtenemos una sucesión exacta de tipo Avramov-Martsinkovsky que conecta los tres funtores derivados a izquierda definidos,Ext_i (-,-), Gext_i(-,-) y Text_i(-,-). ABSTRACT This thesis is built on three topics in the realm of (Relative) Homological Algebra: Cartan-Eilenberg categories, purity and Gorenstein projective resolvents. Chapter IV describes the so-called left Cartan-Eilenberg categories. It is another approach to homological-homotopical algebra by taking into account the role of K-projective complexes in derived categories. Briefly, a left Cartan-Eilenberg category is a category C with weak and strong equivalences (S,W) and enough (S,W)-cofibrant objects. In 2012, Pere Pascual gives an example and a counterexample in the category C+(A) of bounded below complexes to left Cartan-Eilenberg categories depending on whether A has enough projectives. In the main result of this chapter, we give a machinery through cotorsion pairs to produce left Cartan-Eilenberg categories, which includes that example. And even when C+(A) is not a left Cartan-Eilenberg category like in the counterexample, this method will allow to produce some nontrivial left Cartan-Eilenberg subcategories. Chapter V-VI and VII are about Pure Homological Algebra in closed symmetric monoidal categories and locally presentable categories. The reason why purity takes an important place in Relative Homological Algebra is its efficient use in Approximation Theory. Most of the classes of our interest are closed under pure subobjects and pure quotients. Essentially, we are interested in two kind of purity: geometrical and categorical purity. In case of a Grothendieck category with a closed symmetric monoidal structure, we observe that the categorical one implies the geometrical purity. This observation leads to several remarkable results. We prove firstly the existence of geometrical pure-injective preenvelopes. In the category Qco(X) of quasi-coherent sheaves, another kind of purity, the so-called stalkwise purity, comes up. Chapter VI is on some classes of quasi-coherent sheaves concerning to the stalkwise purity such as the classes of flat, locally absolutely pure and locally torsion-free quasi-coherent sheaves. We discuss on their homological properties. The claim is to carry some known results in R-Mod into Qcoh(X). The claim of Chapter VII is to deal with the (stalkwise) pure derived category of quasi-coherent sheaves. Since the stalkwise and the geometrical purity in Qco(X) coincide over a quasi-separated scheme X, we work on the (geometric) pure derived category of any symmetric closed monoidal and Grothendieck category. In such a category, we construct a model category structure whose homotopy category is the geometrical pure derived category. As an application, we get the stalkwise pure derived category of Qco(X) over a quasi-separated scheme. In the last chapter, Chapter VIII, the subject is Gorenstein projective modules. The main idea is to handle topics related to right resolutions by using Gorenstein projective modules. So firstly we begin by dealing with the existence of Gorenstein projective preenvelopes for finitely generated modules over a local n-Gorenstein ring. Later, we investigate certain relative left derived functors of Hom(-,-). We denote by Text_i(-,-) the left derived functor of Hom(-,-) by taking a totally acyclic complex appearing in some right projective resolution of the first component. This is called the Tate derived functor. Other left derived functors are Ext_i (-,-) and Gext_i (-,-). These are obtained by using a right projective resolution and a right Gorenstein projective resolution of the first component, respectively. In the next result, we get an Avramov-Martsinkovsky-type exact sequence connecting the left derived functors involving Ext_i(-,-); Gext_i(-,-) and Ext_i(-,-). Listado de términos TESAURO: 120101- Geometría Algebraica 120103- Teoria de Categorías 120107- Álgebra Homológica