Going further in the Lp-Brunn-Minkowski theory a p-difference of convex bodies = ampliando la teoría de Lp de Brunn-Minkowskiuna p-diferencia de cuerpos convexos

Resumen

Códigos Tesauro: 120403, 120206, 120400 Códigos Unesco: 120403, 120206 Resumen Español: El principal objetivo de esta Tesis Doctoral es definir un nuevo concepto, análogo a la diferencia de Minkowski de cuerpos convexos, pero en el contexto de la teoría Lp de Brunn-Minkowski, que sea en cierto sentido "opuesto" a la p-suma de cuerpos convexos, estudiando sus características principales y viendo si cumple propiedades análogas a la diferencia de Minkowski clásica. Otro de los objetivos perseguidos ha sido estudiar la derivabilidad de las quermassintegrales en el parámetro de definición de la familia de cuerpos p-paralelos. Así, comenzamos la memoria estableciendo las nociones básicas que se necesitarán para el posterior desarrollo de los contenidos. A continuación, definimos la p-diferencia de cuerpos convexos de dos formas distintas -como el mayor conjunto que se puede p-sumar a uno de ellos para que quede contenido en el otro y en términos de las funciones soporte de los cuerpos convexos- viendo que, de hecho, son equivalentes. Investigamos la concavidad y la continuidad respecto a la métrica de Hausdorff de esta nueva operación, y definimos el sistema completo de cuerpos p-paralelos, determinando el comportamiento de los p-paralelos interiores para los llamados cuerpos tangenciales. El tercer capítulo está dedicado al ya mencionado estudio de la derivabilidad de las quermassintegrales. En particular, se obtiene que el volumen es siempre derivable en el rango completo de definición del parámetro, mientras que para el resto de quermassintegrales la derivabilidad se tiene sólo en los valores no-negativos del parámetro. En todos los casos de derivabilidad se proporciona una expresión explícita de la derivada del correspondiente funcional. La memoria concluye con el estudio de la frontera de los cuerpos p-paralelos interiores, en el sentido de relacionar los vectores extremos del cuerpo convexo original con los de sus p-paralelos interiores. También se define un nuevo cuerpo convexo, el llamado p-forma, que permite obtener cotas para las quermassintegrales de los cuerpos p-paralelos interiores, así como para la derivada, en los puntos donde ésta existe, de la función soporte respecto al parámetro de definición de dicho sistema completo de cuerpos p-paralelos. La metodología seguida ha sido la usual en un proyecto de investigación en matemáticas: el estudio en profundidad de artículos y textos en Geometría Convexa y Teoría (Lp) de Brunn-Minkowski, con el fin de adquirir la base necesaria para abordar los problemas planteados, un análisis pormenorizado de los resultados ya conocidos, para así establecer los puntos de partida de nuestra investigación, y el desarrollo y creación de nuevas técnicas que permitan resolver los problemas planteados. En conclusión, podríamos decir que se han logrado sobradamente los objetivos marcados. La mayoría de los problemas planteados se ha podido resolver satisfactoriamente (definición y propiedades principales de la p-diferencia en relación con la p-suma; derivabilidad del volumen y las quermassintegrales; uso de los cuerpos p-paralelos interiores como herramienta para la obtención de nuevas desigualdades) y, de hecho, los tres trabajos de investigación a los que esta tesis ha dado lugar así lo demuestran. Creemos además que el contenido de esta Tesis Doctoral va a permitir un mayor desarrollo en la teoría Lp de Brunn-Minkowski, gracias a las nuevas herramientas y técnicas que proporcionan los cuerpos p-paralelos.