El primer valor propio del operador de estabilidad para superficies compactas con curvatura media constante

Resumen

- Objetivos de la tesis El principal objetivo de la tesis consiste en obtener cotas superiores óptimas para el primer valor propio del operador de Jacobi para superficies compactas y orientables con curvatura media constante en diferentes espacios ambiente: espacios homogéneos, sumersiones de Killing y productos warped. También se buscan las superficies, si existen, que alcanzan la cota óptima. Se pretende profundizar además en el estudio de la geometría de los mencionados espacios ambiente, así como posibles problemas derivados relacionados con la estabilidad de las superficies. - Metodología para la realización de la tesis La metodología es la propia de cualquier trabajo de investigación básica en matemáticas. Estudio bibliográfico del tema objeto de la tesis. Una vez conocida bien la bibliografía, estudio y comprensión de los diferentes artículos publicados que determinan la base de dicho tema. Estudio, al mismo tiempo, de las herramientas y técnicas necesarias para la comprensión de los diferentes trabajos. Estancias de formación con la finalidad de debatir con expertos en la materia y ampliar conocimientos aprovechando su experiencia, asistencia a cursos específicos y a diferentes congresos, principalmente internacionales, con participación activa en los mismos. Estudio del problema utilizando todo el material estudiado y aprendido, reflejando los avances en artículos de investigación a publicar en revistas internacionales de reconocido prestigio. Participación activa en el seminario de geometría que se viene realizando en el grupo de investigación al que pertenezco donde se exponen los avances y problemas encontrados. Discusión a diario de los problemas y avances con los directores de la tesis. - Resultados o conclusiones de la tesis Con la finalidad expuesta en los objetivos, el primer avance destacable es la obtención de dos cotas superiores generales para superficies compactas y orientables de curvatura media constante en variedades riemannianas de dimensión 3 arbitrarias. Así, posteriormente, particularizamos tales cotas a los casos en que el ambiente es un espacio homogéneo, una sumersión de Killing o un producto torcido. En concreto, para el caso de espacios homogéneos 3-dimensionales con grupo de isometrías de dimensión 6 o 4 además de dar cotas para el primer valor propio del operador de estabilidad, también se consiguen caracterizar algunas superficies por medio precisamente de dicho valor propio. Por ejemplo, se consigue una caracterización de los toros de Hopf en ciertas esferas de Berger. Tras el estudio de los espacios homogéneos con grupo de isometrías de dimensión 4, es razonable plantearse extender los resultados obtenidos al caso de sumersiones de Killing riemannianas. Estos ambientes son aún bastante desconocidos y por ello, por una parte nos concentramos en la comprensión de su geometría, dando algunas fórmulas generales, y por otra parte nos dedicamos a nuestro problema planteado, es decir, la obtención de estimaciones para el mencionado valor propio. Como resultados destacables, cabe decir que a través de las cotas obtenidas somos capaces de caracterizar tanto superficies horizontales como toros de Hopf y, como consecuencia, se derivan también resultados que nos dan restricciones sobre la curvatura media de superficies compactas y orientables de curvatura media constante que además sean estables. Por último, nos planteamos el problema de dar cotas para el caso en el que el ambiente es un producto warped. En estos espacios trabajamos con una condición de convergencia que resulta muy natural y está muy justificada en la literatura. Además, se imponen en ocasiones ciertas condiciones naturales como que la función warping sea solución de la ecuación de Jacobi o sea cóncava. En estos casos conseguimos caracterizaciones completas de las superficies estables. Por todo ello, pensamos que la tesis contribuye al estudio de las superficies de curvatura media constante en diferentes ambientes 3-dimensionales, siendo éste un tema que se enmarca entre la geometría diferencial y el análisis geométrico. De hecho, nuestra contribución ha sido publicada en 4 artículos de investigación en diferentes revistas internacionales y un capítulo de libro, tal y como se puede ver en las referencias ([AMO], [MO1]-[MO4]) de la memoria que se presenta.