Sobre la geometría de hipersuperficies en espacios producto con la misma curvatura media riemanniana y lorentziana

Resumen

Se dice que una hipersuperficie en el espacio de Lorentz-Minkowski Ln+1 es espacial si la métrica inducida sobre ella a partir de la métrica lorentziana de Ln+1 es una métrica riemanniana. Podemos dotar a una hipersuperficie espacial en el espacio de Lorentz-Minkowski con dos métricas riemannianas distintas: la heredada de Ln+1, gL, y la inducida del espacio euclídeo Rn+1, gR. En consecuencia, podemos considerar dos funciones curvatura media distintas sobre la hipersuperficie, HL y HR respectivamente. Recordemos que una hipersuperficie en Rn+1 se dice que es minimal cuando HR = 0, mientras que una hipersuperficie espacial en Ln+1 es maximal si HL = 0. A partir de los teoremas de Bernstein y de Calabi-Bernstein se concluye que las únicas hipersuperficies espaciales completas en Ln+1 que son simultáneamente minimales y maximales son los hiperplanos espaciales. Este resultado de unicidad puede extenderse a hipersuperficies espaciales en Ln+1 con la misma curvatura media constante HL = HR gracias a un resultado de Heinz, Chern y Flanders que afirma que los grafos enteros con curvatura media constante en Rn+1 son minimales. Por otro lado, desde un punto de vista local, Kobayashi probó que las únicas superficies espaciales en L3 que son simultáneamente minimales y maximales son regiones abiertas de un plano espacial o de un helicoide, en la región en la que éste es espacial. Recientemente, A. L. Albujer y M. Caballero consideraron un caso más general en el que una superficie espacial en L3 satisface HL = HR no necesariamente constante, y demostraron varias propiedades geométricas que verifican dichas superficies. El primer objetivo de esta tesis será generalizar los resultados de Albujer y Caballero, obteniendo también algunas propiedades geométricas de las hipersuperficies espaciales en Ln+1 con HR = HL. Concretamente, se demostrará que no tienen puntos elípticos. Esto, junto con un resultado clásico de existencia de puntos elípticos de Osserman, dará lugar a varias consecuencias sobre la geometría de estas hipersuperficies. Por otro lado, como toda hipersuperficie espacial en Ln+1 es localmente un grafo sobre cualquier hiperplano espacial, las hipersuperficies espaciales con HR = HL estarán localmente determinadas por las soluciones de una ecuación en derivadas parciales que será estudiada y para la cual se darán algunos resultados de unicidad. A continuación, el segundo objetivo será estudiar qué resultados pueden darse en los espacios producto con dimensión arbitraria. Para ello, se estudiará la geometría extrínseca de hipersuperficies no degeneradas inmersas en el espacio producto Mn x R, con (Mn, < , >M) una variedad riemanniana, a las que se les otorgará dos métricas: la métrica riemanniana estándar < , >M + dt2 y la métrica lorentziana < , >M - dt2. De esta forma, se podrán considerar dos vectores normales, dos operadores forma, dos curvaturas medias y dos curvaturas de Gauss, una asociada a cada métrica. Entonces, suponiendo que la hipersuperficie objeto de estudio tiene curvatura media igual a cero con respecto a ambas métricas, se demostrará que está foliada por hipersuperficies que son subvariedades minimales del espacio ambiente. Por último, también se estudiará el caso en el que las superficies no degeneradas del espacio producto lorentziano M2(c) x R1 (donde M2(c) es el plano euclídeo cuando c = 0, la esfera euclídea cuando c = 1 y el plano hiperbólico cuando c = -1) tienen la misma curvatura de Gauss con respecto a ambas métricas.