Índice de K-determinación de espacios topológicos y s-fragmentabilidad de aplicaciones

Zusammenfassung

Nuestra notación, terminología y definiciones básicas son estándar y se presentan entre las páginas xxi-xxv que siguen. En esta memoria se introducen y estudian ciertas cuestiones de topología que son aplicadas a espacios de funciones continuas, espacios de Banach y espacios localmente convexos. Siendo más concretos, los tres capítulos de la memoria se pueden resumir como sigue: Capitulo 1. Filtros y uscos en espacios topológicos. Estudiamos los conceptos de filtro compactoide y numerablemente compactoide tal y como se introducen en las definiciones 1.2.1 y 1.3.4: un filtroF en un espacio topológico se dice que es compactoide (resp. numerablemente compactoide) si todo ultrafiltro más fino que él converge (resp. si todo filtro de base numerable que lo corta tiene un punto de aglomeración). El estudio que hacemos sobre filtros compactoides y numerablemente compactoides se aplica para generar uscos (aplicaciones multivaluadas con valores compactos y superiormente semicontinuas) en dominios métricos, véase el teorema 1.6.1. Estos resultados sobre filtros también nos permiten obtener de forma sencilla los teoremas de Wallace, corolario 1.5.5 y de Kuratowski, corolario 1.7.7. Algunos de nuestros resultados aquí unifican y mejoran resultados en [12, 23, 21, 70]. Capitulo 2. Índice de K-determinación de espacios topológicos. En este segundo capítulo introducimos y estudiamos el índice de K-determinación `S(Y) de un espacio topológico Y: Definición 2.1.1. Llamamos índice de K-determinación de un espacio topológico Y, y lo denotamos por `S(Y), al cardinal más pequeño m para el cual existe un iv espacio métrico M de peso m y una aplicación multivaluada f : M !2Y usco tal que Y = Sff (x) : x 2 Mg. Estudiamos el comportamiento de `S con respecto a las operaciones habituales en espacios topológicos y lo relacionamos con otras funciones cardinal ampliamente estudiadas en topología, en particular, encontramos relaciones no triviales entre `S(Y), la tightness de Cp(Y) y el índice de monoliticidad de los compactos de Cp(Y). Cuando `S(Y) = À0 el espacio Y es numerablemente determinado y nuestros resultados tienen, como caso particular, los resultados que eran conocidos para este último tipo de espacios; en particular, en espacios C(K) y espacios de Banach, extendemos un buen número de los resultados que M. Talagrand había demostrado en [77] para espacios de Banach débilmente K-analíticos y débilmente numerablemente determinados. El análisis realizado sobre filtros compactoides y numerablemente compactoides en el capítulo anterior, nos ha permitido en este capítulo intuir resultados y dar sus demostraciones, muchas veces, breves y elegantes (a nuestro juicio). Nos hemos ocupado de dar numerosas aplicaciones de los resultados establecidos. Destacamos el estudio que hacemos sobre la noción de S-grado de Hödel en la sección 2.8, así como las aplicaciones que damos a: (A) espacios localmente convexos en las secciones 2.7 y 2.9 que extienden resultados de [9, 15, 50]; (B) espacios uniformes en la sección 2.10 que extiende resultados de [14]. Siempre que nos ha sido posible, hemos puesto de manifiesto mediante ejemplos, que nuestros resultados son los más finos que se pueden demostrar, véanse los ejemplos 2.3.12 y 2.3.20. Capitulo 3. Fragmentabilidad y s -fragmentabilidad de aplicaciones. En este capítulo realizamos un estudio exhaustivo de aplicaciones y multifunciones s -fragmentables; estudiamos familias que gozan de estas propiedades de manera uniforme. En nuestro caso el concepto primitivo es el de barely-continuidad o propiedad del punto de continuidad: una función f de un espacio topológico Y en un espacio métrico (M;d) se dice que tiene la propiedad del punto de continuidad, si f tiene un punto de continuidad al restringirla a cada subconjunto cerrado de Y. Mediante descomposiciones numerables y pasos al límite llegamos a las funciones s -fragmentables: f : Y ! M es s -fragmentable, si para cada e > 0 existe una descomposición Y = [¥ n=1Ye n de tal forma que para cada n 2 N, si A Ye n es un conjunto no vacío existe un abiertoU Y conU \A 6= /0 y d diam( f (U \A))<e. Estas funciones se introdujeron junto con su versión multivaluada en [45] para estudiar selectores. En este capítulo mostramos propiedades de las aplicaciones s - fragmentables siguiendo el esquema de [65], y vemos como podemos extender a aproximaciones s -fragmentables de la función dualidad de cualquier espacio de Banach las propiedades frontera que tenía el selector de la primera clase de Baire (véase Theorem 26 en [45]) para espacios de Asplund. Con ello obtenemos versiones no separables de un resultado de Godefroy para fronteras separables, véase el lema 3.3.4, dando respuesta una pregunta de A. Plichko sobre el mismo, véanse los teoremas 3.3.11 y 3.3.12.