Subvariedades atrapadas en espaciotiempos lorentzianos

Resumen

En esta tesis, nuestra investigación se desarrolla en el caso de subvariedades espaciales de codimensión dos, las cuales están inmersas en un cierto espaciotiempo M de dimensión n+2. Es decir, consideramos una variedad lorentziana M de dimensión n+2, temporalmente orientada y una subvariedad espacial N de codimensión dos e inmersa en M. En este contexto nos marcamos distintos objetivos. Por un lado, tal como indicamos en el título, nuestro principal objeto de estudio son las subvariedades atrapadas. Estas subvariedades han despertado gran interés desde que Penrose las introdujese en el año 1965 en Relatividad General para el estudio de singularidades y agujeros negros. Nosotros las hemos estudiado inmersas en diferentes espaciotiempos lorentzianos: el espaciotiempo de Lorentz-Minkowski (Capítulo 3), el espacio tiempo de Sitter (Capítulo 4), y la familia de espaciotiempos de Robertson-Walker generalizados (Capítulo 6). Por otro lado, nos centramos en la situación particular en la que la subvariedad espacial de codimensión dos está contenida en una hipersuperficie nula S de un espaciotiempo M. Decimos entonces que N factoriza a través de S. Las hipersuperficies nulas contienen una geometría muy interesante y además juegan un papel muy importante en Relatividad General, donde aparecen como horizontes de sucesos de agujeros negros y como horizontes de Cauchy. En este caso, sabemos que si la subvariedad factoriza a través de una hipersuperficie nula, entonces siempre existe de manera natural una referencia normal nula, globalmente definida y que apunta hacia el futuro. En nuestro trabajo vemos que, cuando consideramos los espaciotiempo de Lorentz-Minkowski o de Sitter, esto nos va a permitir codificar las geometrías extrínseca e intrínseca de la subvariedad en términos de una única función positiva definida sobre N (Capítulos 3 y 4). En esta memoria también estudiamos (Capítulo 5) una correspondencia natural entre el cono de luz del espaciotiempo de Lorentz-Minkowski y los también llamados conos de luz de los espaciotiempos de Sitter y anti-de Sitter. Para la demostración de los resultados obtenidos hemos utilizado, entre otras técnicas, el principio del máximo débil para el laplaciano, aplicándolo a subvariedades estocásticamente completas, y hemos estudiado la geometría de nuestras subvariedades en términos de la referencia normal nula globalmente definida cuya existencia está asegurada en el caso en el que N factoriza a través de una hipersuperficie nula. Algunos de los resultados más relevantes son los siguientes: en el Capítulo 3 clasificamos las subvariedades espaciales de codimensión dos y totalmente umbilicales que factorizan a través del cono de luz del espaciotiempo de Lorentz-Minkowski y también damos resultados de no existencia para aquellas que son débilmente atrapadas. En el Capítulo 4, caracterizamos las subvariedades compactas y marginalmente atrapadas que factorizan a través del cono de luz del espaciotiempo de Sitter. En el Capítulo 5 establecemos una correspondencia entre los conos de luz del espaciotiempo de Lorentz-Minkowski y los conos de luz de los espaciotiempos de Sitter y anti-de Sitter. Por último, en el Capítulo 6 damos resultados de rigidez para subvariedades marginalmente atrapadas, con numerosas aplicaciones a casos de interés físico.