On roots of general Steiner type polynomial

Resumen

El principal objetivo de esta Tesis Doctoral es investigar la estructura y comportamiento del conjunto de raíces de aquellos polinomios de grado n cuyos coeficientes (salvo los números combinatorios) forman una sucesión log-convexa, entre los que se encuentran los polinomios duales de Steiner, y estudiar el problema de Blaschke en el marco de la teoría dual de Brunn-Minkowski. Comenzamos la memoria con un primer capítulo donde se recogen los conceptos y resultados que serán necesarios más adelante. Explicamos con detalle el problema de Blaschke y su relación con el tipo de raíces de los polinomios de Steiner. También dedicamos una sección a estudiar la llamada teoría dual de Brunn-Minkowski, y finalmente recogemos algunos resultados y propiedades conocidos sobre polinomios reales. En el capítulo 2 estudiamos el comportamiento de las raíces del polinomio de Steiner cuando consideramos cuerpos convexos 2- y 3-dimensionales embebidos en un espacio euclídeo de dimensión superior. En este caso, vemos que el conjunto de cuerpos convexos de dimensión 2 embebidos en R^n, cuyo polinomio de Steiner tiene sólo raíces reales, contiene al correspondiente conjunto en dimensión n+1. Sin embargo, en el caso 3-dimensional, encontramos un contraejemplo que nos muestra que esa inclusión es falsa y que sólo se verifica cuando saltamos a dimensión n+2. En el tercer capítulo estudiamos el comportamiento de lo que llamaremos polinomios con coeficientes log-convexos, es decir, aquéllos cuyos coeficientes (salvo los números combinatorios) verifican a_i^2<=a_{i-1}a_{i+1}. Consideramos el conjunto de raíces de todos estos polinomios (diferenciando si dichos coeficientes son todos positivos o alguno puede ser nulo) contenidas en el semiplano superior y probamos que ambos conjuntos son conos convexos, entre otras propiedades. El principal resultado proporciona una descripción precisa de estos conos para cualquier n>=3. En el último capítulo investigamos el problema de Blaschke en el marco dual. Caracterizamos el diagrama de Blaschke dual y probamos que es simplemente conexo y no cerrado. Esto permite obtener una nueva caracterización de las quermassintegrales duales en dimensión n=3 por medio de las desigualdades duales de Aleksandrov-Fenchel, y de este modo determinamos el cono de raíces de los polinomios duales de Steiner para n=3. Obtenemos también cotas para el módulo y las partes real e imaginaria de las raíces de los polinomios duales de Steiner en términos de los radios interior y exterior. En la última sección probamos que el polinomio dual de Steiner con pesos asociados a una medida de probabilidad sobre la recta real positiva, admite una representación integral y, además, demostramos que el funcional dual de Steiner puede obtenerse como uno de estos funcionales generalizados para una medida "límite" particular. La metodología que hemos seguido ha sido la propia de cualquier proyecto de investigación en Matemáticas: estudio en profundidad de artículos y textos en Convexidad y Teoría (dual) de Brunn-Minkowski, con el fin de adquirir la base necesaria para abordar los problemas planteados; estudio de los resultados anteriores ya conocidos, para así establecer los puntos de partida de nuestra investigación; desarrollo y creación de nuevas técnicas que permitan resolver los problemas planteados; análisis y presentación de los resultados obtenidos en congresos y reuniones de investigación, así como su publicación en revistas de impacto de reconocido prestigio internacional. En conclusión, podemos decir que se han logrado los objetivos previstos. Los problemas planteados se han podido resolver de forma satisfactoria (generalizamos el polinomio dual de Steiner y obtenemos propiedades de las raíces de dicho polinomio generalizado) y los trabajos de investigación y las participaciones en congresos a los que esta tesis ha dado lugar así lo demuestran.