On the Zassenhaus conjecture for PSL(2,q), SL(2,q) and direct products

Resumen

En 1960 Zassenhaus enunció una serie de conjeturas sobre los subgrupos finitos de U(ZG) con G un grupo finito. Para todas ellas se encontraron contraejemplos durante los siguientes años pero una de ellas ha permanecido abierta durante mucho tiempo. Se trata de la conjetura que pretende describir los elementos de torsión de U(ZG). Claramente los conjugados en QG de los elementos de G y sus opuestos son de torsión y la Conjetura de Zassenhaus (ZC1) predice que todos los elementos de torsión de ZG son de esta forma. (ZC1) ha sido verificada para todos los grupos de orden menor que 144, Weiss la demostró para grupos nilpotentes y Hertweck para grupos metacíclicos. Este resultado fue extendido para grupos cíclico-por-abeliano. Poco antes de completar esta tesis, un contraejemplo metabeliano fue anunciado por Eisele y Margolis. En vista de este contraejemplo, versiones más débiles han tomado más protagonismo. Destacamos el Problema de Kimmerle que pretende decidir si todas las unidades de U(ZG) son conjugadas de un elemento de G en U(QH) para un grupo H que contenga a G como subgrupo. Los objetivos de la tesis han sido: 1) Estudiar (ZC1) para los grupos PSL(2,q) y SL(2,q). 2) Desarrollar nuevos métodos para tratar (ZC1). 3) Estudiar (ZC1) y el Problema de Kimmerle para productos directos. Para los objetivos 1) y 2) se estudiaron ejemplos demostrados con el Método HeLP. Como consecuencia, en esta tesis se calcula cómo de lejos se puede llegar utilizando el Método HeLP para unidades con orden 2t en ZPSL(2,q), con t un primo impar. También se ha demostrado que toda unidad de torsión de ZPSL(2,q) con orden coprimo con 2q es conjugada en QG de un elemento de PSL(2,q). Para ello se ha desarrollado una nueva versión del Método HeLP adaptada a los caracteres de PSL(2,q). Como consecuencia, se demuestra (ZC1) para los grupos PSL(2,p) con p un primo de Fermat or Mersenne. Esto aumenta el número de grupos simples no abelianos para los cuales se verifica (ZC1) de 13 hasta al menos 62 grupos. También se estudió si las técnicas empleadas en los grupos PSL(2,q) servían para tratar los grupos SL(2,q). Se profundizó en la Teoría de Representaciones Modulares buscando que estas ideas sirvieran para tratar grandes familias de grupos. En esta tesis se ha logrado demostrar que toda unidad de torsión de ZSL(2,q) con orden coprimo con q es conjugada en QG de un elemento de SL(2,q). Esto dio lugar a la demostración de (ZC1) para los grupos SL(2,p) y SL(2,p²) con p un primo. Ésta es la primera familia infinita de grupos no resolubles para los cuales se ha demostrado (ZC1). Para el objetivo 3), se estudió si las técnicas empleadas por Hertweck podrían ser adaptadas para tratar el producto directo de grupos. Se ha demostrado (ZC1) para el producto directo de un grupo abeliano finito y un grupo finito de Frobenius con complementos metacíclicos. También se extendió el Método HeLP para anillos de grupo con coeficientes en un anillo de enteros algebraicos, teniendo como objetivo estudiar (ZC1) para el producto directo de un grupo abeliano finito y un grupo con orden menor que 95. También se ha resuelto el Problema de Kimmerle para los contraejemplos de (ZC1) encontrados por Eisele y Margolis y para los grupos con una torre de Sylow, en particular para los grupos superresolubles.