Teoría de representación de coálgebras. Localización en coálgebras

Zusammenfassung

El objetivo de la Teoría de Representación de Álgebras consiste en clasificar Álgebras, generalmente sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, en función de su categoría de módulos, Históricamente los esfuerzos se han centrado en considera únicamente el caso finito-dimensional. En este sentido destacan los trabajos de Gabriel para traducir el problema al contexto de quivers o grafos orientados y de Auslander y Reiten que proporcionaron unas herramientas fundamental es para el estudio de los módulos de un álgebra. Sin embargo, dicha teoría no es válida si el álgebra es de dimensión infinita. A este respecto surge el concepto de coálgebra como una generalización de las Álgebras finito-dimensionales y permite una aproximación al caso general desde el punto de vista clásico. En la presente tesis doctoral se estudia l posibilidad de un resultado para coálgebras análogo al conocido teorema de Gabriel que describe las Álgebras básicas finito dimensionales como cocientes de Álgebras de caminos por un idea admisible. Para este propósito se utilizan la noción de coálgebra de caminos de un quiver con relaciones definida por Simson. Dado que se obtienen contraejemplos en ese sentido e, incluso, un criterio para decidir cuando una coálgebra admisible es la coálgebra de caminos de un quiver con relaciones, la clase a considera es reducida a las coalgebras tame. Para tratar este nuevo problema se considera la localización en categorías de comodulos, relacionando la propiedad de ser tame o wild de una coálgebra y sus coálgebras localizadas. Como consecuencia de dicho análisis se obtiene el siguiente resultado: Toda subcoálgebra admisible tame de una coálgebra de caminos de un quiver aciclico es el isomorfa a una coálgebra de caminos de un quiver con relaciones.