Contribuciones al estudio de los operadores y formas multilineales que alcanzan su norma

Resumen

La tesis contiene resultados originales sobre los problemas que se mencionan en el título, Ambos tienen su origen en el clásico Teorema de Bishop-Phelps, según el cual, el conjunto de los funcionales lineales y continuos que alcanzan su norma, en un espacio de Banach arbitrario, es denso en el espacio dual para la topología de la norma. En 1963, J. Lindenstrauss inicia una importante línea de investigación, consistente en encontrar condiciones necesarias o suficientes sobre dos espacios de Banach, para la densidad del conjunto de los operadores lineales y continuos de un espacio en otro que alcanzan su norma. La teoría ha tenido un importante desarrollo en las últimas décadas, con contribuciones importantes de autores como J. Bourgain y W. Gowers, pero quedan aún importantes problemas abiertos. En el capítulo primero de la tesis se hace una nueva aportación a esta importante teoría. Generalizando un resultado obtenido en 1998 por C. Finet y R. Payá, se prueba lo siguiente: el conjunto de los operadores que alcanzan su norma de un L-espacio arbitrario en el dual de cualquier otro, es denso. Este resultado proporciona una respuesta parcial a un problema planteado en 1983 por W. Schachermayer. En el segundo capítulo se analizan las posibles versiones del Teorema de Bishop-Phelps para formas multilineales, una línea de trabajo iniciada en 1995 por R. Aron, C. Finet y E. Werner. Se da una nueva demostración, más efectiva en ciertos casos, y se mejora significativamente, un resultado de dichos autores referente a espacios conla propiedad "alfa". Concretamente se prueba que: si la bola cerrada unidad de un espacio de Banach es la envolvente absolutamente convexa y cerrada de un conjunto uniformemente expuesto, entonces, toda forma multilineal continua en dicho espacio puede aproximarse por formas multilineales continuas que alcanzan su norma. De esta forma se consiguen nuevos ejemplos de espacios de Banach es