Vector measure orthogonal sequences in spaces of square integrable functions

Resumen

Esta tesis doctoral se enmarca dentro del análisis de los subespacios de sucesiones ortogonales de funciones de cuadrado integrable respecto de una medida vectorial que es numerablemente aditiva y toma valores en un espacio de Banach. La motivación de este trabajo es la generalización de los argumentos geométricos que proporcionan los procedimientos clásicos de aproximación en los espacios de Hilbert. La noción de ortogonalidad representa un punto clave que permite el desarrollo de la teoría de la convergencia de sucesiones en estos espacios. Hoy en día, la convergencia casi por todas partes, la convergencia en norma y la convergencia débil son temas bien conocidos en la teoría de espacios de funciones de Hilbert. Los espacios de Banach de funciones L^2(m) de una medida de vectorial m representan una amplia clase de retículos de Banach: cada retículo de Banach 2-convexo orden continuo con una unidad débil puede ser representado (a través de un isomorfismo de orden) como un espacio L^2(m) para una medida vectorial adecuada m. La estructura integral que el operador integración proporciona en estos espacios permite generalizar argumentos de ortogonalidad de la teoría del espacios de Hilbert, a pesar de que los espacios L^2(m) están lejos de ser espacios de Hilbert. En el primer capítulo de esta memoria se introducen algunos conceptos básicos de los espacios de Banach de funciones, integración sobre medidas vectoriales y otros temas que serán necesarios a lo largo de todo el trabajo. Se desarrollan algunos resultados sobre la convergencia de sucesiones en espacios de Banach de funciones, al igual que se muestran algunos procedimientos que serán de gran utilidad. Algunos argumentos sobre ortogonalidad también son introducidos, tanto en el contexto de sucesiones de L^2(m) como en las integrales de estas sucesiones cuando la medida vectorial m toma valores en un espacio de Hilbert H. Se analiza la convergencia incondicional de sucesiones desde el punto de vista abstracto de los espacios de funciones integrables, y se proporciona una versión del método de disyuntificación de Kadec y Pelczynsky para medidas vectoriales. En el segundo capítulo, se presentan formalmente tres nociones de ortogonalidad de una sucesión respecto de una medida vectorial. La m-ortogonalidad débil, la (natural) m-ortogonalidad y la m-ortogonalidad fuerte, proporcionando también algunos ejemplos que muestran la relación con problemas clásicos del análisis funcional. También se estudia la geometría de estas sucesiones. En el capítulo 3 analizamos la convergencia casi por todas partes de sucesiones que son débil m-$ortogonales. El resultado más relevante de esta sección nos muestra una versión general del teorema de Menchoff-Rademacher. A continuación se muestra un caso particular que involucra las c_0-sumas de un espacio de Hilbert con el fin de mostrar las propiedades de la convergencia casi por todas partes. Finalmente, en el capítulo 4 se desarrolla una aplicación concreta en el contexto de las medidas vectoriales. Se facilita un método de aproximación respecto de una medida paramétrica. Los principales elementos de este procedimiento son una sucesión débil m-ortonormal y una función integrable Bochner que definirá nuestra medida, sobre la cual podremos calcular unos coeficientes de Fourier --que en este caso serán funciones medibles¿para una determinada función de L^2(m). Y por último, se mostrarán algunas aplicaciones de aproximación de señales procedentes de datos experimentales en el campo de L^2(m) de la acústica.