Sistemas hamiltonianos en resonancia 11:1:1. Reducciones toroidales y bifurcaciones de Hopf

Résumé

Esta memoria aborda el análisis genérico de las perturbaciones de los sistemas hamiltonianos en resonancia 1:1:1:1, Hasta la fecha, este tipo de problemas se ha circunscrito al estudio de las regularización del problema de Kepler, lo cual supone hacer cero una de las integrales. El presente trabajo abre, por tanto, una nueva línea de investigación para aplicar el modelo a un mayor número de problemas. La memoria está dividida en dos partes. La primera, que consta de cuatro capítulos, se dedica a establecer el marco para este tipo de sistemas. En concreto, el primer capítulo introduce los conceptos geométricos y algebráicos sobre los que se desarrolla la tesis. El segundo capítulo se dedica a analizar el problema no perturbado y su reducción a CP3. El Capítulo tres contiene la reducción toroidal asociada a las acciones de las integrales rotacionales. El último capítulo de la primera parte se dedica al estudio de las perturbaciones genéricas que preservan ciertas simetrías y que darán lugar a problemas que podrán llevarse a los espacios reducidos obtenidos en el capítulo tercero, para lo cual se emplean técnicas de normalización de Lie-Deprit y de reducción. La segunda parte de la memoria se dedica al estudio de un problema concreto, definido por una perturbación polinómica uniparamétirca de tipo polinómico en el espacio de configuración con términos de grado cuatro y seis. En el capítulo cinco se obtienen los equilibrios y las bifurcaciones, y se desmuestra la existencia de una curva de bifurcaciones de Hopf Hamiltonianas en la que aparecen el caso supercrítico y el caso subcrítico, así como dos bifurcaciones de Hopf Hamiltonianas degeneradas. El punto degenerado conecta ambos casos con una curva de bifurcación de tipo centro - silla. El estudio del plano de bifurcaciones se completa con la presentación de los flujos sobre el espacio reducido generalizando resultados existentes. La triple reducción introduce tres parámetros di