La categoría de módulos firmes

Abstract

Dado un anillo asociativo (no unitario) R, un módulo M sobre R se dice firme si es isomorfo de forma canónica al producto tensorial sobre R de R por M, La categoría formada por los módulos firmes es pues una generalización natural en el caso no unitario de las categorías de módulos unitarios para anillos con unidad, conservando casi todas las propiedades de éstas. Una propiedad fundamental y que permanecía como problema abierto era la abelianidad de la categoría. En la memoria se prueba que en general la categoría no es abeliana mostrando un ejemplo de un anillo asociativo R y de un monomorfismo que no es núcleo de ningún otro morfismo de la categoría. Para llegar a este resultado, se realiza un estudio profundo de la categoría de módulos firmes y de multitud de propiedades equivalentes a la abelianidad, así como otras en principio más débiles y que tampoco se cumplen en general. Se prueba también que si la categoría de módulos firmes es abeliana, entonces los límites directos son exactos y por lo tanto cumple la propiedad de ser Grothendieck. Se estudian en detalle los límites directos y se da un ejemplo de un anillo y de una familia de monomorfismos cuyo límite no es un monomorfismo y por lo tanto los límites directos no son exactos. Se estudian familias de anillos para los cuales la categoría de módulos firmes es abeliana, concretamente la clase de las álgebras monomiales.