El anillo mínimo de un cuerpo convexo. Algunos problemas de optimización

Resumen

El objetivo de este trabajo ha sido el estudio del anillo mínimo de un conjunto convexo plano, así como su relación con otras magnitudes geométricas, esto da lugar a la obtención de las mejores desigualdades posibles entre las medidas consideradas, Dado un cuerpo convexo K (conjunto convexo y compacto), se define un anillo con centro c y radios r menor R como el conjunto cerrado formado por los puntos comprendidos entre las esferas (concéntricas) de centro c y radios r y R. La convexidad implica además la existencia de un único anillo con diferencia de radio R-r mínima; éste se denomina el anillo mínimo del conjunto. Siguiendo el trabajo iniciado por Bonnesen, Favard y otros, hemos estudiado, en primer lugar, las relaciones existentes entre el anillo mínimo de un cuerpo convexo plano con cada una de las seis magnitudes geométricas clásicas: el área, el perímetro, el diámetro, la anchura mínima, el circunradio y el inradio. De forma más precisa, determinamos todas las cotas posibles (superiores e inferiores) para dichas medidas cuando suponemos que el anillo mínimo está fijo. Obsérvese que si el circuncírculo y el incírculo de un cuerpo convexo K son concéntricos, desde luego éstos determinan el anillo mínimo del conjunto (como por ejemplo, en el cuadrado). Pero no siempre tiene por qué ocurrir tal cosa: de hecho, puede darse cualquiera de las otras posibilidades. Esto ha motivado nuestro interés pro estudiar la relación entre el anillo mínimo de un conjunto, su circuncírculo y su incírculo. Así, y tras demostrar diversas propiedades que relacionan estos objetos geométricos, determinamos todas las desigualdades óptimas que establecen cuáles son las figuras que maximizan o minimizan cada una de las medidas anteriores cuando su anillo mínimo y, o bien su circunradio, o bien su inradio, están fijos. Se resuelven todos los casos posibles, lo que cierra el problema totalmente.