Reducción de tipo Hopf de un modelo cuárticoaplicaciones en dinámica rotacional y orbital= Hopf fibration reduction of a quartic model: applications to rotational and orbital dynamics

Zusammenfassung

Esta tesis aborda los sistemas más conocidos de la mecánica clásica de forma unificada. Nuestro objetivo principal es desarrollar un marco de trabajo común para el estudio de perturbaciones, dicha tarea se realiza desde un punto de vista geométrico. Hemos estructurado esta memoria en tres partes: Parte I. Preliminares en Mecánica Clásica y Geometría: En esta primera parte recogemos herramientas que serán usadas a lo largo de nuestro estudio. En el primer capítulo fijamos la notación y se presentan algunos resultados básicos. En el segundo estudiamos el Sistema Extendido de Euler, como un problema de valor inicial paramétrico. Este enfoque permite derivar las principales propiedades de las funciones elípticas. En concreto, las conocidas relaciones cuadráticas entre funciones elípticas y la transformación de Jacobi para el módulo elíptico se obtienen de nuestro análisis. Parte II. Reducción de tipo Hopf de un modelo cuártico: En el tercer capítulo estudiamos una generalización de la fibración de Hopf clásica. Seguiremos la misma metodología que en la fibración de Hopf clásica, pero el cuerpo complejo será reemplazado por cuaternios. En el cuarto capítulo usamos las componentes de la representación cuaterniónica de la aplicación de Hopf para proponer una familia de Hamiltonianos multiparamétrica. Para una elección apropiada de los parámetros y considerando una regularización de la variable independiente, cuando sea necesario, algunos modelos destacados de la mecánica clásica tales como el sistema de Kepler, el flujo geodésico, el oscilador isotrópico de cuatro dimensiones y el sólido rígido libre aparecen como casos particulares. El análisis del modelo cuártico se lleva a cabo a través de una doble reducción. Por un lado, el sistema es geométricamente reducido, este modelo es un ejemplo detallado de reducción singular, en la cual la correspondiente reconstrucción es también proporcionada. Por otro lado, la reducción simpléctica llevada a cabo a través del uso de nuevas coordenadas canónicas es analizada. En concreto, se muestra la relación entre la reducción geométrica y simpléctica y se proporciona la formulación explícita para todos los cambios de variables que son usados. Parte III. Aplicaciones a la dinámica Roto-Orbital: Esta parte está dedicada al estudio de la dinámica de actitud y el movimiento orbital de modelos que aproximan un asteroide o un satélite con una triaxialidad genérica, bajo los efectos de una perturbación gravitacional. Este problema, denominado problema completo de los dos cuerpos, es un sistema dinámico Hamiltoniano no integrable, que requiere el uso de teorías de perturbaciones para su análisis. Dentro del contexto de Poincaré y Arnold, una teoría de perturbación debería ser desarrollada a partir un orden cero integrable y no degenerado. Nosotros exploraremos nuevos candidatos para el orden cero llamados intermediarios. La idea de los intermediarios consiste en definir un sistema integrable simplificado del problema en cuestión. En el quinto capítulo recordamos el concepto de intermediario, presentamos cinco modelos y establecemos una metodología común para su estudio. Es en este contexto donde el marco desarrollado para el modelo polinómico cuártico es completamente explotado. El sistema simplificado incluye parte del potencial donde el acoplamiento roto-orbital esta presente de tal manera, que el sistema definido por el orden cero es integrable. Los capítulos seis y siete aprovechan el marco de trabajo desarrollado en el estudio de dos intermediarios definidos en el capítulo anterior. Se asume que estos intermediarios tienen orbitas circulares y elípticas respectivamente. En el capítulo seis estudiamos equilibrios relativos y bifurcaciones del intermediario circular. Este modelo de intermediario define un flujo Poisson sobre espacio multiparamétrico. En el caso de un cuerpo de rotación lenta, identificamos condiciones bajo las cuales aparecen bifurcaciones de las trayectorias inestables clásicas, siendo dichos escenarios de gran interés en relación a la estabilización y control. Por otro lado, también se pone de manifiesto y se estudia en detalle el papel jugado por la triaxialidad del cuerpo. En el último capítulo la perturbación contiene al radio y como consecuencia las órbitas obtenidas serán de tipo roseta. Este modelo se asocia a dos tipos de aplicaciones, asteroides y satélites, es decir, en nuestra última aplicación consideramos órbitas elípticas en general; también analizamos las condiciones para que este modelo admita circulares. El objetivo de este estudio es encontrar un modelo suficientemente simplificado para ser considerado un orden cero, pero que incorpore parte del efecto perturbativo gravitatorio. Conclusión En esta tesis se aborda una generalización del sistema clásico de Euler, la solución general conecta con las doce funciones elípticas de Jacobi. Usando esta generalización y la fibración tipo Hopf cuaterniónica, se define y estudia en detalle una familia polinómica paramétrica de Hamiltonianos. Sobre dicha familia se llevan a cabo reducciones de tipo geométrico y simpléctico y se muestra que algunos modelos de la mecánica clásica están incluidos para ciertas elecciones de los parámetros. En este sentido, la familia propuesta proporciona un marco de trabajo común para abordar estos modelos clásicos. En las aplicaciones nos centramos en la modelización de problemas roto-orbitales. El modelo completo requiere el desarrollo de teorías perturbativas para obtener soluciones aproximadas. En este trabajo consideramos algunos candidatos para el orden cero. Presentamos un detallado análisis para el caso en el que el satélite presenta rotación lenta. Para cada misión concreta, el valor de los modelos dependerá de las comparaciones con experimentos numéricos. Para el caso de radio no constante aparecen un buen número de técnicas de la mecánica clásica a investigar. En este sentido, el capítulo siete es un primer paso que requiere más investigación. Como ejemplo valga la comparación de nuestro enfoque con la eliminación de la paralaje como punto de partida. Un segundo aspecto es la producción de las correspondientes variables de ángulo-acción. Summary This thesis addresses some of the very well known systems in classical mechanics in a uniform manner. Our main target is to develop a common framework to deal with perturbations. As such, the structure of this memoir comprises three parts: Part I. Preliminaries on Classical Mechanics and Geometry: In the first part of this memoir we gather some tools that will be used along our study. The first Chapter sets notation and presents some basic results. In the second Chapter we study the extended Euler systems as an initial value problem with parameters. Particular realizations of this system lead to several Lie-Poisson structures. The twelve Jacobi elliptic functions are shown in a unified way. Part II. Hopf Reduction on a Quartic Polynomial Model: In the third Chapter we study a four dimensional generalization of the classical Hopf fibration. We follow the same methodology as in the classical Hopf fibration, but instead of complex numbers the generalization of the classic Hopf map is defined in terms of quaternions. The fourth Chapter uses the components of the quaternionic Hopf map to propose a parametric Hamiltonian function, which is an homogeneous quartic polynomial with six parameters, defining an integrable family of Hamiltonian systems. For suitable choices of the parameters, adding an appropriate regularization when needed, some remarkable classical models such as the Kepler, geodesic flow, 4-D isotropic oscillator and free rigid body systems appear as particular cases. The analysis of the quartic model is performed through a twofold reduction. On the one hand, the system is geometrically reduced. On the other hand, symplectic reduction is examined. Moreover, we show the relation between the geometric reduction and the reduction carried out by the Projective Andoyer variables. Part III. Applications to Roto-Orbital Dynamics: This part is devoted to the study of the attitude dynamics and the orbital motion of models approximating a generic triaxial spacecraft under gravity-gradient torque perturbation. The full problem is a non-integrable Hamiltonian dynamical system. Within the context of Poincaré and Arnold, a perturbation theory should be developed upon an integrable and non-degenerate zero order. We study alternative candidates for the zero order, the intermediaries. The idea of the intermediary is to define a simplified integrable system of the problem at stake. In the fifth Chapter we recall the concept of intermediary, present five of them and we set a common methodology. Sixth and seventh Chapters take advantage of the previous framework considering two intermediary models. Those intermediaries are assumed to be in circular and elliptic orbits respectively. We study relative equilibria and bifurcations of the circular intermediary in chapter six. This intermediary model defines a Poisson flow over a large parameter space. In the case of slow rotational motion we identify conditions under which different bifurcations of the classical unstable trajectories occur, being those scenarios of great interest in relation to stabilization and control purposes. The role played by the triaxiality is also shown. The final chapter examines a body moving in a rosette-like orbit. More precisely we are thinking about two types of applications, namely to artificial satellites or asteroids around a planet. In other words, we consider perturbed elliptic orbits in general; we also investigate conditions for which this model admits the circular ones. This scenario leads to medium orbits rather than to the low type of orbits studied in the preceding chapter. The intention of this study is to analyze a model simply enough to be considered as an alternative zero order, but incorporating partially the effects of the gravity torque perturbation. Conclusions The main conclusion of this Memoire may be summarized as follows. A generalized study of the classical Euler system is presented, connecting its solutions with the twelve Jacobi elliptic functions. Using that and the quaternionic Hopf fibration a quartic homogeneous polynomial parametric family is proposed and studied in detail. Geometric and symplectic reductions are performed in the family. It is shown that, for suitable choices of parameters, several classical mechanical systems arise as family realizations and we provide a common framework to study them. In the application we focus on modeling problems in the roto-orbital dynamics. The full model is a non-integrable problem which requires the development of perturbation theories in order to obtain approximate solutions. Several candidates for the zero order term, on which the whole theory relies, are considered in this context. We analyze the role played by the integrals and the relation with the physical parameters involved. In particular, we present a fairly complete analysis of the case when the satellite has slow rotation. For each mission, the relative value of each model will finally depend on numerical experiments. When the radius is not constant, there is a number of techniques of classical mechanics to be considered and the last chapter is just a preliminary step to do more research. As an example we mention the comparison of our approach with the elimination of the parallax as the starting point. A second aspect could be the production of the corresponding action-angle variables.