Sistemas completos de desigualdades

Résumé

El trabajo de investigación realizado en esta tesis doctoral ha estado dedicado al estudio de diversos problemas de optimización en la geometría de cuerpos convexos del espacio euclídeo n-dimensional, con el fin de obtener desigualdades, geométricas que permitan una caracterización completa de los conjuntos admisibles, determinando, en los casos en los que ha sido posible, los conjuntos extremales, Cuando se dispone de una familia de desigualdades geométricas que permite dicha caracterización, se dice que se tiene un sistema completo de desigualdades. Más concretamente, un sistema completo de desigualdades es una familia finita de r desigualdades relacionando m magnitudes geométricas de forma que, para cualquier colección de m números positivos verificando las r condiciones, se puede garantizar la existencia de, al menos, un conjunto convexo cuyas m magnitudes geométricas tienen los valores predeterminados. El primer antecedente en el estudio de este problema lo encontramos en un trabajo de Blaschke quien, en 1916, se planteó la búsqueda de un sistema completo de desigualdades que relacionase el volumen de un conjunto convexo del espacio euclídeo tridimensional con el área de su superficie y la integral de su curvatura media; este problema continúa aún abierto en la actualidad. Posteriormente, en 1961, Santaló estudió los primeros sistemas completos de desigualdades para conjuntos convexos del plano euclídeo que relacionasen cualquier terna de las siguientes magnitudes geométricas: el área del conjunto (A), la longitud de su perímetro (p), el inradio (r), el circunradio (R), la anchura (w) y el diámetro (d). De los 20 casos posibles que se pueden plantear, Santaló resolvió 6, quedando pendientes 14 como problemas abiertos. Recientemente, Hernández Cifre y Segura Gomis han resuelto 5 de ellos, quedando por tano 9 casos sin resolver. Uno de los resultados más importantes que hemos obtenido en nuestro tr