Resultados teóricos y prácticos sobre procesamiento de señales

Resumen

Las diversas transformadas de Fourier son muy poderosas y son usadas y estudiadas no s¿olo en matem¿aticas sino en la ingenier¿¿a, la f¿¿sica y otras ciencias. Una desventaja, sin embargo, es que las funciones exponenciales complejas no tienen un soporte compacto en el espacio, lo cual impide un an¿alisis local ¿no. El descubrimiento y desarrollo de las ond¿¿culas a mediados de los 80¿s permiti¿o sortear este problema al demostrarse que pod¿¿an crearse bases para L2 (o marcos de forma m¿as general) con soporte compacto en el espacio. M¿as a¿un, dependiendo de la regularidad y decaimiento de dichas ond¿¿culas, ¿estas generan bases para muchos otros espacios de funciones a partir de un an¿alisis multirresoluci¿on (AMR). A pesar del gran ¿exito que han tenido las ond¿¿culas en campos como las EDP¿s o el procesamiento de se¿nales, un an¿alisis m¿as geom¿etrico multi dimensional est¿a limitado por el hecho que las ond¿¿culas en dimensiones mayores a 1 generalmente se obtienen a partir de productos tensoriales. Esto implica que las ond¿¿culas ¿ven¿ las singularidades sin ¿describir¿ por completo su geometr¿¿a. En las aplicaciones que nos ocupan (procesamiento de se¿nales), es deseable poder percibir con m¿as precisi¿on la orientaci¿on de dicha singularidad. En los ¿ultimos a¿nos se han desarrollado variantes de las ond¿¿culas que son m¿as direccionales. Algunos de ¿estos incluyen los bancos de ¿ltros, las curvelets y las contourlets, para nombrar unas pocas. En cuanto a las contourlets, como son construidas en un ¿ambito discreto y ¿nito, carecen de ¿exibilidad de dise¿no y, para algunas aplicaciones, suponen que existen funciones suaves con soporte compacto espacial que aproximan a una partici¿on del plano de las frecuencias como en la Subsecci¿on 4.2.3. Por otra parte, las curvelets se construyen en coordenadas polares, as¿¿ que su implementaci¿on es m¿as bien dif¿¿cil. En [55], Guo, Lim, Labate, Weiss y Wilson, introdujeron las ond¿¿culas con dilataci¿on compuesta. Este tipo de representaci¿on aprovecha la teor¿¿a de los sistemas a¿nes en R n,por lo que provee una transici¿on natural de la representaci¿on cont¿¿nua al ¿ambito discreto parecido a una base (como es el caso de las ond¿¿culas). Relacionado con las ond¿¿culas de dilataci¿on compuesta se tiene el sistema de shearlets que provee marcos de Parseval para L2(R2) o subespacios de ¿este (dependiendo del muestreo discreto de los par¿ametros, ver Subsecciones 4.2.2 y 4.2.3). Pueden consultarse una larga cantidad de aplicaciones no s¿olo para el procesamiento digital de im¿agenes en http://www.shearlet.org. Las shearlets producen representaciones ¿optimas de funciones en C2(R2) excepto en discontinuidades a lo largo de curvas C2. En este trabajo demostramos que, como en el caso de las ond¿¿culas, se pueden caracterizar espacios (altamente anisotr¿opicos) del tipo Triebel-Lizorkin usando los coe¿cientes de las ¿shearlets en el cono¿. Relacionamos tambi¿en estos nuevos espacios con los cl¿asicos. La l¿¿nea de argumentaci¿on sigue la transformada ¿ de Frazier y Jawerth en. Puede consultarse una descripci¿on detallada de los resultados obtenidos en la primera secci¿on del Cap¿¿tulo 4. Los resultados descritos en el Cap¿¿tulo 4 son la base de la publicaci¿on .