Duality in spaces of p-integrable functions with respect to a vector measure

Resumen

La tesis tiene como objetivo principal el estudio de la dualidad vectorial entre los espacios Lp(m) y Lq(m) de funciones integrables con respecto a una medida vectorial con valores en un espacio de Banach X, con p, q > 1 exponentes reales conjugados, La clave de la dualidad es la definición de una forma bilineal Phi : Lp(m) × Lq(m) -- X dada por el operador integración, que a cada par (f, g) en Lp(m) × Lq(m) le asocia la integral del producto fg con respecto a m. Mediante esta forma bilineal se definen dos topologías intermedias para el espacio Lp(m). La más débil es la topología m_débil, que corresponde a la topología de la convergencia débil de la integrales. Además de estudiar sus propiedades, se prueba que para p > 1 esta topología coincide con la débil del espacio Lp(m). La importancia de este resultado radica en que, al no conocerse una representación concreta del dual del espacio Lp(m), es muy interesante describir la convergencia débil en términos de la convergencia débil de las integrales en el espacio de Banach X. La m_topología corresponde a la convergencia fuerte de las integrales en X, y puede coincidir en casos extremos con la débil y con la fuerte de Lp(m). Se estudian sus propiedades, en particular se dan condiciones para asegurar que un subconjunto de Lp(m) sea m_compacto. Estas topologías, en particular la m_débil, son útiles para la descripción del predual del espacio Lp(m) en términos de productos tensoriales. Esta construcción se describe de forma detalla en el tercer capítulo de la memoria de la tesis. Cabe destacar de éste un resultado que caracteriza aquellos operadores definidos en Lp(m) con rango en X que se pueden escribir como una integral. Aunque sin duda el resultado más relevante es el que, bajo cierta hipótesis de compacidad de la bola unidad (equivalente a la reflexividad del espacio Lp(m)) ofrece una representación de Lp(m) como el dual del producto tensorial de Lq(m) por el dual de X, dotado de una norma. Este resultado es clave para obtener una generalización de los resultados de dualidad para los espacios clásicos de funciones p_integrables. La m_topología permite definir un concepto de sumabilidad en Lp(m) basada en la dualidad vectorial, los llamados operadores m_r_sumantes definidos en espacios de funciones integrables con respecto a una medida vectorial, que se estudian en el cuarto capítulo. Esta definición generaliza la sumabilidad clásica. Se estudian las propiedades de estos operadores, y se presentan ejemplos que ponen de manifiesto su interés. En la misma línea que en la teoría clásica, obtenemos teoremas de dominación y de factorizaci ón. La última sección de este capítulo está dedicada a la descripción de estos espacios de operadores como el dual de un espacio vectorial, extendiendo así la teoría clásica de Groethendieck, para el caso de operadores definidos en espacios Lp(m). En el último capítulo de la memoria, las técnicas de la dualidad vectorial se aplican a los espacios de Orlicz respecto a una medida vectorial, L^(Phi)(m), que generalizan a los Lp(m). Se estudian propiedades de los espacios de Orlicz vectoriales y bajo la condición delta-2 para la función de Young, se caracterizan el espacio de multiplicadores entre L^(Phi)(m) y L1(m). Como una aplicación de estos resultados, se caracterizan aquellos operadores que factorizan a través de un espacio de Orlicz vectorial.