Bifurcación locales generalizadas en familias uniparamétricas y biparamétricas de sistemas dinámicos

Résumé

La noción de sistema dinámico es la formalización matemática del concepto más general que conocemos como Proceso Determinista, El estado futuro de muchos sistemas físicos, químicos, biológicos, de ingeniería, económicos, ecológicos e incluso sociales puede ser predicho si se conocen su estado presente y las leyes que gobiernan su evolución. Formalmente un sistema dinámico se define como una terna (X,T,F), donde X representa el conjunto de posibles estados del sistema, T el conjunto de tiempos y F el flujo u operador de evolución. El objetivo esencial de un sistema dinámico es modelar algún aspecto de la realidad para poder extraer concluisones acerca del comportamiento futuro del mismo. Por ello, desde el punto de vista práctico, los problemas relacionados con ecuaciones en diferencias finitas figuran entre los de mayor interés, ya que, de entre estas ecuaciones, las más relevantes se corresponden con modelos reales. Es el caso de la bien conocida ecuación logística unidimensional, modelo matemático que explica la evolución de una determinada especie biológica en el tiempo, son considerar posible fenómenos de competencias con otras especies. En el estudio de sistemas dinámicas se plantean fundamentalmente tres cuestiones: 1,- ¿Cómo es de fiable el modelo?, es decir, ¿la función diseñada responde a lo que realmente sucede? 2,- Teniendo diseñada la función f que determine el modelo, ¿podemos predecir su evolución para valores grandes del tiempo? 3,- ¿Responderemos de manera parecida a las dos preguntas anteriores si muestra f es reemplazada por otra función g que difiera poco de f? (Cuando la respuesta es afirmativa, se dice que f es estructuralmente estable). En ausencia de estabilidad estructural, resulta de especial interés el problema de analizar qué estructuras y propiedades relevantes aparecen o desaprecen cuando se varía ligeramente la función original. Estos fenómenos se conocen