Hipersuperficies espaciales completas en el espacio de Sitter

Abstract

Esta Memoria de Investigación está dedicada fundamentalmente al estudio de las hipersuperficies espaciales del espacio de De Sitter, aunque en el capítulo final se cambie de espacio ambiente para considerar hipersuperficies espaciales en el espacio de Lorentz-Minkowski, Una parte importante del trabajo está encaminada a encontrar caracterizaciones de las esferas totalmente umbilicales del espacio de De Sitter, que en algunos casos llevarán a nuevas hipótesis bajo las que la conjetura de Goddard es cierta. Se consideran especialmente condiciones relativas a las distintas curvaturas de la hipersuperficie, esto es, las curvaturas medias de orden superior, la curvatura escalar y la curvatura de Ricci, así como otras relacionadas con su imagen hiperbólica. La hipótesis de compacidad es también, sin duda, una de las más relevantes a lo largo de esta Memoria. En este sentido, se demuestra que las hipersuperficies espaciales compactas del espacio de De Sitter son las únicas hipersuperficies espaciales completas cuya aplicación de Gauss está acotada, así como las únicas hipersuperficies espaciales completas temporalmente acotadas. Además, se establece una interesante acotación del volúmen de una hipersuperficie espacial compacta en términos del radiode la bola deofésica que contiene su imagen hiperbólica, obteniendo adecuadas caracterizaciones para los valores límites. Por otra parte, se desarrollan una familia de fórmulas integrales para hipersuperficies espaciales compactas del espacio de De Sitter, que se denominan fórmulas de Minkowski. Estas fórmulas permiten obtener interesantes caracterizaciones de las esferas totalmente umbilicales del espacio de De Sitter, bajo hipótesis relativas a sus curvaturas medias de orden superior. También se estudian acotaciones apropiadas de las curvaturas medias de orden superior, la curvatura escalar y la curvatura de Ricci de hipersuperficies espaciales compactas del espac