Propiedades geométricas de operadores de curvatura y generalizaciones de espacios simétricos

Resumen

Un problema central en geometría diferencial es el de relacionar propiedades algebraicas del tensor de curvatura con la geometría subyacente de la variedad. Teniendo en cuenta que el tensor de curvatura codifica una cantidad ingente de información, cual motiva el uso de objetos más sencillos que permiten extraer parte de ella y reconocer propiedades geométricas de la propia variedad. Ejemplos destacados de este hecho son el tensor de Ricci y la curvatura escalar. En este sentido es interesante estudiar propiedades, de tipo espectral o de conmutación, de ciertos operadores definidos de forma natural a partir del tensor de curvatura. Otra aproximación diferente al estudio de la curvatura de una variedad es la existencia de ciertas estructuras tales como estructuras Hermíticas o Kählerianas. Esta tesis realiza contribuciones a los temas citados anteriormente y que presentaron un crecimiento relevante en los últimos años y, que presentan un campo de amplio y prometedor desarrollo en el futuro. A continuación se detallarán los resultados presentes en esta memoria. La memoria consta de dos partes independientes aunque con un fondo común, precedidas de un capítulo introductorio donde se establece el contexto en el que se obtuvieron los resultados. En la primera parte se estudian propiedades espectrales de operadores definidos de forma natural a partir del tensor de curvatura, más concretamente el operador de Jacobi y el operador de curvatura antisimétrico. En el Capítulo 2 se estudian las variedades de Osserman, variedades cuyos operadores de Jacobi tienen autovalores constantes en la pseudo-esfera unitaria, en dimensión cuatro. Se presenta una descripción libre de coordenadas de las variedades de Osserman en dimensión cuatro cuyos operadores de Jacobi presentan un autovalor doble no nulo. En el Capítulo 3 se generaliza la construcción obtenida para dimensión cuatro a cualquier dimensión, obteniendo así ejemplos no conocidos de variedades de Osserman con operadores de Jacobi no triviales y no nilpotentes. Esta construcción se puede ver como una deformación de las variedades paraKähler de curvatura seccional paraholomorfa constante no nula. Además se muestran ejemplos de variedades de Osserman cuyos operadores de Jacobi son no nilpotentes y que presentan una forma de Jordan arbitrariamente complicada. Se introduce en este capítulo el concepto de variedad (semi)-paracompleja Osserman proporcionando ejemplos de dichas variedades cuyos operadores de Jacobi paracomplejos son no triviales y no nilpotentes. En el Capítulo 4 se muestran ejemplos de variedades IP, las cuales son aquellas cuyos operadores de curvatura antisimétricos tienen autovalores constantes en la Grassmaniana de 2-planos orientados, en signatura (2,2) que no son conformemente llano. Este hecho presenta un elemento diferenciador con respecto al caso Riemanniano en donde toda variedad IP es necesariamente localmente conformemente llana. Motivado por este hecho se estudian las variedades que son a un mismo tiempo Osserman e IP en dimensión cuatro y signatura (2,2) tanto desde un punto de vista algebraico como a posteriori, mostrando su realización geométrica. En el Capítulo 5 se estudian las variedades IP en relación con las métricas de Walker. Se obtiene que toda variedad de Walker autodual e IP es una extensión de Riemann de una superficie afín con tensor de Ricci simétrico degenerado. Este hecho permitirá estudiar las superficies afines homogéneas clasificadas por Kowalski, Opozda y Vlásek. Los espacios simétricos han sido extensamente estudiados en la literatura. Es por ello interesante estudiar aquellos espacios cuya curvatura esté "próxima" a la de los espacios simétricos. Este es el eje central de la Parte II de esta memoria. En el Capítulo 6 se extienden los espacios clasificados por Berndt y Vanhecke, los llamados C y P espacios, para variedades de Riemann a variedades de Lorentz. Se muestra la existencia de C espacios Lorentzianos no homogéneos y P espacios Lorentzianos homogéneos, lo cual es un fenómeno nuevo y no conocido con respecto al caso Riemanniano. En el Capítulo 7 se estudian los espacios simétricos generalizados en dimensión tres y cuatro clasificados por Cerny y Kowalski desde el punto de vista de las estructuras subyacentes que poseen.